Question

如图，两个共轴的圆筒形金属电极，在内筒上均匀分布着平行于轴线的标号1-8的八个狭缝，内筒内半径为R，在内筒之内有平行于轴线向里的匀强磁场，磁感应强度为B．在两极间加恒定电压，使筒之间的区域内有沿半径向里的电场．不计粒子重力，整个装置在真空中，粒子碰到电极时会被电极吸收．
（1）一质量为m₁，带电量为+q₁的粒子从紧靠外筒且正对1号缝的S点由静止出发，进入磁场后到达的第一个狭缝是3号缝，求两电极间加的电压U是多少？
（2）另一个粒子质量为m₂，带电量为+q₂，也从S点由静止出发，该粒子经过一段时间后恰好又回到S点，求该粒子在磁场中运动多少时间第一次回到S点．

Answer 1

分析：（1）带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动．粒子从1号缝直接到3号缝，轨迹为

1

4

圆周，轨迹半径等于内筒半径，由牛顿第二定律列式求出速度，由根据动能定理求出加速电压．
（2）粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝，只要穿过了狭缝，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，再重新进入磁场区，再回到S点．画出粒子可能的运动轨迹，共有三种可能情况：第一种：粒子依次经过2、3、4、5、6、7、8号缝回到1号缝；第二种：粒子依次经3、5、7号缝回到1号缝；第三种：粒子依次经过4、7、2、5、8、3、6号缝回到1号缝．确定出轨迹的圆心角，求出总时间．

解答：解：（1）m₁粒子从S点出发在电场力作用下加速沿径向由1号缝以速度V₁进入磁场，
依动能定理  q1U=

1

2

mV12  ①
在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力公式和牛顿定律得  qV1B=m

V12

r1

  ②
粒子从1号缝直接到3号缝，轨迹为1/4圆周，轨迹半径等于内筒半径r₁=R  ③
由以上得  U=

q1R2B2

2m1

  ④
（2）m₂粒子进入磁场后，做匀速圆周运动周期为T  qv2B=m2

v22

r2

  ⑤
周期为 T=

2πr2

v2

  ⑥
得   T=

2πm2

q2B

  ⑦
m₂粒子能回到S点的条件是能沿径向进入某条缝，在电场中先减速再反向加速重回磁场，然后以同样的方式经过某些缝最后经1号缝回到S点．共有三种可能情况
第一种：粒子依次经过2、3、4、5、6、7、8号缝回到1号缝．
       
t=8×

135

360

×T=3T=

6πm2

q2B

  ⑧
第二种：粒子依次经3、5、7号缝回到1号缝  t=4×

1

4

T=T=

2πm2

q2B

  ⑨
 
第三种：粒子依次经过4、7、2、5、8、3、6号缝回到1号缝  t=8×

1

8

T=T=

2πm2

q2B

  ⑩

答：（1）两电极间加的电压U是

q1R2B2

2m1

．
（2）另一个粒子质量为m₂，带电量为+q₂，也从S点由静止出发，该粒子经过一段时间后恰好又回到S点，该粒子在磁场中第一次回到S点的运动时间可能为：

6πm2

q2B

或

2πm2

q2B

．

点评：本题看似较为复杂，实则简单； 带电粒子在磁场运动解决的关键在于要先明确粒子可能的运动轨迹，只要能确定圆心和半径即可由牛顿第二定律及向心力公式求得结果．