Question

12．如图所示，在空间中有一直角坐标系xOy，其第一象限内充满两个匀强磁场区域I和Ⅱ，直线OP是它们的边界．区域I中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向里．边界上的P点坐标为（4L，3L）．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I，经过一段时间后粒子恰好经过原点O．忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）该粒子在磁场中运动的最短时间．
（2）该粒子运动速度的可能值．

Answer 1

分析 （1）粒子进入磁场中受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，考虑边界效应，粒子进入磁场与离开磁场时速度方向与边界的夹角相等，故必定从Ⅱ区离开O点；
考虑到t=$\frac{θ}{2π}T$，粒子先在磁场I区中运动，后在磁场II区中运动并离开O点的情况是运动时间最短的；
（2）粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场I区中运动，后在磁场II区中运动，然后又重复前面的运动，直到经过原点O，这样粒子经过n个周期性的运动到过O点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移S=$\frac{OP}{n}$（n=1，2，3，…），根据S与两个半径的关系，求出半径，即可求解速度的通项．

解答 解：（1）粒子进入磁场中受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，对于直线边界，考虑轨迹圆的对称性，粒子进入磁场与离开磁场时速度方向与边界的夹角相等，故粒子不可能从Ⅰ区到达O点，故一定是从Ⅱ区到达O点；
画出可能的轨迹，如图所示：

tanα=$\frac{3L}{4L}$=0.75
得α=37°，α+β=90°
故该粒子一定沿y轴负方向从O点射出；
设粒子的入射速度为v，用R₁，R₂，T₁，T₂分别表示粒子在磁场I区和II区中运动的轨道半径和周期，则：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
qv（2B）=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
周期分别为：
T₁=$\frac{2π{R}_{1}}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
T₂=$\frac{2π{R}_{2}}{v}$=$\frac{πm}{qB}$
粒子先在磁场I区中做顺时针的圆周运动，后在磁场II区中做逆时针的圆周运动，然后从O点射出，这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短．
粒子在磁场I区和II区中的运动时间分别为：
t₁=$\frac{2β}{2π}$•T₁
t₂=$\frac{2β}{2π}{T}_{2}$
粒子从P点运动到O点的时间至少为：
t=t₁+t₂
由以上各式解得：
t=$\frac{53πm}{60qB}$
（2）粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场I区中运动，后在磁场II区中运动，然后又重复前面的运动，直到经过原点O．这样粒子经过n个周期性的运动到过O点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移为S=$\frac{OP}{n}$=$\frac{5L}{n}$（n=1、2，3，…）
粒子每次在磁场I区中运动的位移为：
S₁=$\frac{{R}_{1}}{{{R}_{1}+R}_{2}}$S=$\frac{2}{3}S$
由图中几何关系可知：
$\frac{\frac{{S}_{1}}{2}}{{R}_{1}}$=cosα=0.8
而R₁=$\frac{mv}{qB}$
由以上各式解得粒子的速度大小为：
v=$\frac{25qBL}{12nm}$（n=1、2，3，…）
答：（1）该粒子在磁场中运动的最短时间是$\frac{53πm}{60qB}$．（2）该粒子运动速度的可能值为：v=$\frac{25qBL}{12nm}$（n=1、2，3，…）．

点评 本题在复合场中做周期性运动的类型，关键要运用数学知识分析粒子的规律，得到粒子在一个周期内位移的通项，综合性较强，难度较大．