Question

2．半径为R、介质折射率为n的透明圆柱体，过其轴线OO′的截面如图所示．位于截面所在平面内的一细束光线，以角i₀由O点射入，折射光线由上边界的A点射出．当光线在O点的入射角减小至某一值时，折射光线在上边界的B点恰好发生反射．求A、B两点间的距离．

Answer 1

分析 由折射定律求出光线在左侧面上的折射角，可几何关系求出A、D间的距离．由sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射临界角C，再由几何知识求解B、D间的距离，即可得到AB间的距离．

解答 解：当光线在O点的入射角为i₀时，设折射角为r₀，由折射定律得：$\frac{sin{i}_{0}}{sin{r}_{0}}$=n ①
设AD间的距离为d₁，由几何关系得：
sinr₀=$\frac{R}{\sqrt{{R}^{2}+{d}_{1}^{2}}}$ ②
若光线在B点恰好发生全反射，则在B点的入射角恰好等于临界角C，设BD间的距离为d₂．则有：
sinC=$\frac{1}{n}$ ③
由几何关系得：sinC=$\frac{{d}_{2}}{\sqrt{{R}^{2}+{d}_{2}^{2}}}$ ④
则A、B两点间的距离为：d=d₂-d₁；⑤
联立解得：d=（$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$-$\frac{\sqrt{{n}^{2}-si{n}^{2}{i}_{0}}}{sin{i}_{0}}$）R ⑥
答：A、B两点间的距离为（$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$-$\frac{\sqrt{{n}^{2}-si{n}^{2}{i}_{0}}}{sin{i}_{0}}$）R．

点评 解决本题的关键要作出光路图，运用几何知识和折射定律结合解答．