Question

10．已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零．科学家设想在赤道正上方高d处和正下方深为d处各修建一环形轨道，轨道面与赤道面共面．现有A、B两物体分别在上述两轨道中做匀速圆周运动，若地球半径为R，轨道对它们均无作用力，则A、B两物体运动的说法正确的是（　　）

• A． 向心加速度大小的比为$\frac{{R}^{3}}{（R+d）^{2}（R-d）}$
• B． 线速度大小的比为$\frac{R}{{R}^{2}-{d}^{2}}$$\sqrt{R（R+d）}$
• C． 角速度的比为$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{（R+d）^{3}}}$
• D． 周期之比为2π$\sqrt{\frac{（R+d）^{3}}{（R-d）^{3}}}$

Answer 1

分析 由地球质量等于密度乘以体积，可得地球质量表达式；由万有引力提供向心力，对A、B分别列方程可得两物体速度和加速度之比．

解答 解：设地球密度为ρ，则有：
在赤道上方：$\frac{{Gρ\frac{4}{3}π{R^3}}}{{{{（R+d）}^2}}}=\frac{v_1^2}{R+d}={a_1}=（R+d）{ω_1}^2=\frac{{4{π^2}（R+d）}}{{{T_1}^2}}$
在赤道下方：$\frac{{Gρ\frac{4}{3}π{{（R-d）}^3}}}{{{{（R-d）}^2}}}=\frac{v_2^2}{R-d}={a_2}=（R-d）{ω_2}^2=\frac{{4{π^2}（R-d）}}{{{T_2}^2}}$
解得：
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{R^3}{{{{（R+d）}^2}（R-d）}}$，故A正确；
$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{R}{{R}^{2}-{d}^{2}}$$\sqrt{R（R+d）}$，故B正确；
$\frac{ω_1}{ω_2}$=$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{{（R+d）}^{3}}}$，故C正确；
$\frac{T_1}{T_2}=\sqrt{\frac{{{{（R+d）}^3}}}{R^3}}$，故D错误；
故选：ABC

点评 本题主要掌握万有引力提供向心力的基本应用，要会用数学方法表示球体质量；并正确应用万有引力充当向心力求解各物理量的表达式．