Question

9．如图所示，一内壁光滑的试管装有量为0.5kg的小球（可视为质点），试管的开口端封闭后安装在水平轴O上，动轴到管底的距离为10cm，让试管绕轴O在竖直平面内匀速转动，（g取10m/s²）．求：
（1）角速度至少多大，小球才能在竖直面内做稳定的匀速圆周运动；
（2）转速多大时，试管底部受到小球的压力的最值为最小值的5倍．

Answer 1

分析 对小球分析，在最高点临界情况是管底对小球的弹力为零，根据牛顿第二定律求出最小速度．
根据牛顿第二定律表示出在最低点和最高点的弹力，即可求得转速小．

解答 解：（1）要使玻璃管底部到达最高点时小球不掉下来，临界情况是管底对小球的弹力为零，
根据牛顿第二定律得，mg=mω²r，
解得$ω=\sqrt{\frac{g}{r}}=\sqrt{\frac{10}{0.1}}rad/s=10rad/s$．
（2）在最低点，根据牛顿第二定律得，N-mg=m（2πn）²r，
在最高点，根据牛顿第二定律得N′+mg=m（2πn）²r
N=5N′
联立解得$n=\frac{5\sqrt{6}}{2π}$r/s
答：（1）角速度至少为10rad/s，小球才能在竖直面内做稳定的匀速圆周运动；
（2）转速$\frac{5\sqrt{6}}{2π}$r/s时，试管底部受到小球的压力的最值为最小值的5倍

点评 解决本题的关键知道圆周运动向心力的来源，知道最高点的临界情况，根据牛顿第二定律进行求解