Question

34.一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率。

Answer 1

34.解：

以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v₀,在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s,所用时间为t,加速度为a,则对小箱有

s=at²/2                                                                              ①

v₀=at                                         ②

在这段时间内，传送带运动的路程为

s₀=v₀t                                         ③

由以上可得

s₀=2s                                          ④

用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为

A=fs=/2                               ⑤

传送带克服小箱对它的摩擦力做功

A₀=fs₀=2·/2                       ⑥

两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量

Q=/2                                          ⑦

可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。

T时间内，电动机输出的功为

W=T                                      ⑧

此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即

W=N/2+Nmgh+NQ                ⑨

已知相邻两小箱的距离为L，所以

v₀T=NL                                      ⑩

联立⑦⑧⑨⑩,得

                          =［（N²L²/T²）+gh］/T