Question

如图为光滑且处于同一竖直平面内两条轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r=0.4m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看作重合．现有一质量m=0.1kg可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放（取g=10m/s²）．
（1）若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少要有多高？
（2）若小球静止释放处离C点的高度h小于（1）中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h．
（3）若小球自H=0.3m处静止释放，求小球到达F点对轨道的压力大小．

Answer 1

分析：小球从ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为υ．小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg≤

mv2

r

，联立即可求解H；
小球恰好击中与圆心等高的E点，根据平抛运动的特点求出D点速度，再根据机械能守恒定律即可求解H的高度．
根据机械能守恒定律求出到达F点的速度，再根据向心力公式即可求解压力．

解答：解：（1）要使小球能沿圆轨道运动，在圆周最高点必须满足：mg≤

mv2

r

故小球在D点的速度至少为v=

gr

；        
A到D能量守恒：mgH=

1

2

mv2
解得：H=0.2m．                
（2）小球在D点作平抛运动，设小球在D点的速度为v_D
则：x=v_Dt=r     
y=

1

2

gt2=r
A到D能量守恒：mgh=

1

2

m

v

2 D

，
由以上各式可得：h=0.1m．       
（3）小球从A到F能量守恒：mg（H+2r）=

1

2

m

v

2 F

由向心力公式：N_F-mg=

m v 2 F

r

 解得：N_F=6.5N    
由牛顿第三定律可知：球在F点对轨道的压力大小为N'_F=6.5N．
答：（1）H至少要有0.2m；                
（2）若小球静止释放处离C点的高度h小于（1）中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，h为0.1m．
（3）若小球自H=0.3m处静止释放，小球到达F点对轨道的压力大小为6.5N．

点评：本题是圆周运动结合平抛运动的题型，要知道小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg≤

mv2

r

，若不满足，则小球做平抛运动，难度适中．