Question

8．如图所示，在电视机显像管中的某区域同时加有磁感应强度相同的水平匀强磁场和竖直匀强磁场，磁场宽度为l，磁场右边界与荧光屏之间的距离也为l．质量为m、电荷量为e的电子经电压为U的电场加速后射入该磁场．在屏上建立坐标系，x、y轴分别沿水平、竖直方向．若不加磁场时，电子打在坐标原点O．
（1）若只加水平方向的磁场，则打到屏上时速度方向与竖直方向成30°角，求打在屏上落点的坐标．
（2）只加水平方向的磁场时，求磁感应强度和电子在磁场中运动的时间．
（3）若同时加上两个方向的匀强磁场，求电子在屏上的落点到坐标原点O的距离．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识求出粒子的轨道半径，然后求出坐标．
（2）粒子在电场中加速，由动能定理可以求出粒子的速度，粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律可以求出磁感应强度，根据粒子的周期公式求出力的运动时间．
（3）求出粒子在竖直方向的偏移量，然后求出距离．

解答 解：（1）粒子运动轨迹如图所示：

电子做匀速圆周运动的半径：$R=\frac{l}{{sin{{60}°}}}$，
电子偏离竖直方向的距离：y=R-Rcos60°+lcot30°，
联立解得：$y=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}l，所求坐标（0，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}l）$；
（2）对电子，由动能定理得：$eU=\frac{1}{2}mv_0^2$，
设磁场的磁感应强度为B，由牛顿第二定律得：
$e{v_0}B=m\frac{v_0^2}{R}$，
联立解出：$B=\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{6mU}{e}}$，
粒子运动时间：$t=\frac{1}{6}T$，粒子的周期：$T=\frac{2πm}{qB}$，
联立解出：$t=\frac{πl}{9}\sqrt{\frac{6m}{eU}}$；
（3）若只加竖直方向的匀强磁场，同理可求出电子偏离水平方向的距离：$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}l$，
故所求为：$S=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}l$．
答：（1）打在屏上落点的坐标为（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$l）．
（2）磁感应强度和电子在磁场中运动的时间为$\frac{πl}{9}$$\sqrt{\frac{6m}{eU}}$．
（3）电子在屏上的落点到坐标原点O的距离为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$l．

点评 本题考查了粒子的坐标位置、粒子运动时间、距离问题，分析清楚粒子运动过程，作出粒子运动轨迹，应用动能定理、牛顿第二定律、粒子周期公式即可正确解题，要注意几何知识的应用．