Question

如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角为α，导轨电阻不计．磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面斜向上，长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m、电阻为R．两金属导轨的上端连接右侧电路，电路中R₂为一电阻箱，已知灯泡的电阻R_L=4R，定值电阻R₁=2R，调节电阻箱使R₂=12R，重力加速度为g，闭合开关S，现将金属棒由静止释放，求：

（1）金属棒下滑的最大速度v_m；
（2）当金属棒下滑距离为s₀时速度恰好达到最大，则金属棒由静止开始下滑2s₀的过程中，整个电路产生的电热；
（3）改变电阻箱R₂的值，当R₂为何值时，金属棒达到匀速下滑时R₂消耗的功率最大．

Answer 1

分析：闭合开关S，金属棒由静止释放，沿斜面下滑切割磁感线，产生电动势E=BLv，相当于电源给电路供电，随着速度的增大电动势增大，当速度达到最大值时，导体棒匀速运动，由受力平衡求出v_m，由功能关系求出电热，由闭合电路求出R₂的功率，由二次函数求出最大值．

解答：解：（1）当金属棒匀速下滑时速度最大，达到最大时有
        mgsinα=F_安                                     
        F_安=BIL                                       
        I=

BLvm

R总

                                     
       其中　R_总=6R                                        
        联立各式得金属棒下滑的最大速度v_m=

6mgRsinα

B2L2

（2）由动能定理W_G-W_安=

1

2

mv_m²                         
         由于W_G=2mgs₀ sinα   W_安=Q                              
         解得Q=2mgs₀sinα-

1

2

mv_m²
     将代入上式可得   Q=2mgs₀sinα-

18m3g2R2sin2α

B4L4

也可用能量转化和守恒求解：mg2s0sinα=Q+

1

2

m

v

2 m

再联立各式得Q=2mgs₀sinα-

18m3g2R2sin2α

B4L4

（3）金属棒匀速下滑受力平衡
       mgsinα=BIL                                       
       P₂=I₂²R₂ 
        由电路分析得  I2=

4R

R2+4R

I
联立得P2=(

4Rmgsinα

(R2+4R)BL

)2R2P2=

16R2R2

R 2 2 +8RR2+16R2

(

mgsinα

BL

)2

P2= 16R2 R2+8R+ 16R2 R2 ( mgsinα BL )2

当R2=

16R2

R2

，即R₂=4R时，R₂消耗的功率最大        
答：（1）金属棒下滑的最大速度v_m=

6mgRsinα

B2L2

（2）当金属棒下滑距离为s₀时速度恰好达到最大，则金属棒由静止开始下滑2s₀的过程中，整个电路产生的电热2mgs₀sinα-

18m3g2R2sin2α

B4L4

；
（3）改变电阻箱R₂的值，当R₂=4R时，金属棒达到匀速下滑时R₂消耗的功率最大．

点评：考查了电磁感应定律的综合应用，闭合电路欧姆定律，受力平衡等．