Question

土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为匀速圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为R_A和R_B．忽略所有岩石颗粒间的相互作用．（结果用字母表示）
1）求岩石颗粒A和B的线速度之比．
2）求岩石颗粒的A和B的向心加速度之比．
3）若测得A颗粒的运行周期为T_A，已知引力常量为G，求土星的质量．

Answer 1

分析：（1）根据万有引力提供向心力即G

Mm

r2

=m

v2

r

可列式求解；
（2）根据万有引力提供向心力列式G

Mm

r2

=man求解；
（3）根据万有引力提供向心力即G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r可求解．

解答：解：（1）根据万有引力提供向心力，即G

Mm

r2

=m

v2

r

可得：线速度的平方与轨道半径成反比，所以有：

vA

vB

=

RB RA

（2）根据万有引力提供向心力列式G

Mm

r2

=man
可得，向心力加速度与轨道半径的平方成反比．则有：

aA

aB

=

R 2 B

R 2 A

（3）根据万有引力提供向心力即G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
可得，土星（中心天体）的质量M=

4π2RA3

G T 2 A

答：1）求岩石颗粒A和B的线速度之比

RB

RA

；
2）求岩石颗粒的A和B的向心加速度之比

R 2 B

R 2 A

．
3）若测得A颗粒的运行周期为T_A，已知引力常量为G，所以土星的质量

4π2RA3

G T 2 A

点评：本题是万有引力定律得简单应用问题，可列出表达式直接对比求解．