Question

4．如图甲所示，足够长的“U”型金属导轨固定在水平面上，金属导轨宽度L=1.0m，导轨上放有垂直导轨的金属杆P，金属杆质量为m=0.1kg，空间存在磁感应强度B=0.5T，竖直向下的匀强磁场．连接在导轨两端的电阻R=3.0Ω，金属杆的电阻r=1.0Ω，其余部分电阻不计．某时刻给金属杆一个水平向右的恒力F，金属杆P由静止开始运动，图乙是金属杆P运动过程的v-t图象，导轨与金属杆间的动摩擦因数μ=0.5．在金属杆P运动的过程中，第一个2s内通过金属杆P的电荷量与第二个2s内通过P的电荷量之比为3：5．g取10m/s²．求：

（1）水平恒力F的大小；
（2）求前2s内金属杆P运动的位移大小x₁；
（3）前4s内电阻R上产生的热量．

Answer 1

分析 （1）由图乙可明确运动过程，由图乙可明确最大速度，根据导体切割磁感线的电动势E=BLv以及欧姆定律可求得感应电流和安培力，再根据平衡条件可求得水平恒力大小；
（2）根据平均电动势规律进行分析求出电量表达式，由图求出后2s的位移；再根据电量关系可求得前2sP滑动的位移大小；
（3）根据功能关系进行分析，即可求出前4s内电阻R上产生的热量

解答 解：（1）由图乙可知金属杆P先作加速度减小的加速运动，2s后做匀速直线运动．
当t=2s时，v=4m/s，此时感应电动势  
E=Blv????????????????????????????????????
感应电流I=$\frac{E}{R+r}$?????????????????????????????????????
安培力F'=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$?????????????????????????????????????
根据牛顿运动定律有F-F'-μmg=0?????????????????????????
解得F=0.75 N???????????????????????????????????????
（2）通过金属杆P的电荷量  
q=It=$\frac{\overline{E}}{R+r}t$??
其中$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BLx}{t}$????????????
所以q=$\frac{BLx}{R+r}$∝x（x为P的位移）???????
设第一个2s内金属杆P的位移为x₁，第二个2s内P的位移为x₂
则△Φ₁=BLx₁
△Φ₂=BLx=BLvt????????????????????????
由于q₁：q₂=3：5
联立解得x₂=8m，x₁=4.8m．??????????????????????????
（3）前4s内由能量守恒得
F（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}$mv²+μmg（x₁+x₂）+Q_r+Q_R
其中Q_r：Q_R=r：R=1：3
解得：QR=1.8J．
答：（1）水平恒力F的大小为0.75N；
（2）前2s内金属杆P运动的位移大小x₁为4.8m；
（3）前4s内电阻R上产生的热量为1.8J．????????

点评 本题考查导体切割磁感线规律的应用，要注意明确在计算电量时要用到功能关系，而在求得电量时要注意利用平均电动势进行计算，同时还要注意共点力平衡条件的应用才能准确求解．