Question

1．一颗人造卫星在离地面高度等于地球半径的圆形轨道上运行，已知卫星的第一宇宙速度为7.9km/s，地球表面重力的加速度为g=10m/s²，求：
（1）这颗卫星运行的速度是多大？
（2）它绕地球运动的向心加速度是多大？

Answer 1

分析 （1）此题为卫星做圆周运动的基本计算型题目，根据万有引力提供向心力列式，求解线速度．
（2）由牛顿第二定律和万有引力等于重力列式，求解向心加速度．

解答 解：（1）人造地球卫星在圆形轨道上运行时，由万有引力提供向心力，则有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得$v=\sqrt{\frac{GM}{2R}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{GM}{R}}$
对于卫星的第一宇宙速度有：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$=7.9km/s
代入数据解得：v=$\frac{1}{\sqrt{2}}×7.9km/s$=5.58km/s
（2）根据牛顿第二定律得：
$ma=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$
得加速度：$a=G\frac{M}{{r}_{\;}^{2}}=G\frac{M}{（2R）_{\;}^{2}}$
又$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
联立两式得：$a=\frac{g}{4}=2.45m/{s}_{\;}^{2}$
答：（1）这颗卫星运行的速度是5.58km/s
（2）它绕地球运动的向心加速度是2.45$m/{s}_{\;}^{2}$

点评 此题为卫星做圆周运动的基本计算型题目，主要考查万有引力充当向心力和万有引力等于重力的相关应用和计算．