Question

6．如图，质量m=1.0kg的物体（可视为质点）以v₀=10m/s的初速度从水平面的某点向右运动并冲上半径R=1.0m的竖直光滑半圆环，物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.5．求：
（1）物体能从M点飞出，落到水平面时落点到N点的距离的最小值为多大？
（2）如果物体从某点出发后在半圆轨道运动过程途中离开轨道，求出发点到N点的距离x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）小球离开M做平抛运动，根据到达M的临界条件求出小球平抛的初速度，根据平抛规律求得最小距离；
（2）小球在运动过程中途离开轨道则根据临界条件小球在轨道上上升的高度大于半径而小于到达M的临界速度，根据动能定理求得x的取值范围．

解答 解：（1）物体恰好能从M点飞出，有：
$mg=m\frac{{v}_{min}^{2}}{R}$…①
由平抛运动知：y_min=v_mint…②
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$…③
解①②③得：y_min=2m…④
（2）（Ⅰ）物体在水平距离运动最短距离时有恰好从M离开半圆轨道，即物体恰好从M点飞出，物体从出发点到M过程．
由动能定理：$-μmg{x}_{min}-mg2R=\frac{1}{2}m{v}_{min}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…⑤
解①⑤得：x_min=5m…⑥
（Ⅱ）物体在水平面上运动足够长时，则当物体刚好至圆轨道圆心等高处速度为0，
由动能定理：$-μmg{x}_{max}-mgR=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…⑦
解⑦得：x_max=8m…⑧
所以要想从MN中途离开轨道，则物体在水平面上滑动的距离满足：8m＞x＞5m
答：（1）物体能从M点飞出，落到水平面时落点到N点的距离的最小值为2m；
（2）如果物体从某点出发后在半圆轨道运动过程途中离开轨道，出发点到N点的距离x的取值范围为8m＞x＞5m．

点评 掌握竖直面内小球做圆周运动通过最高点的临界条件是正确解题的关键，小球能从轨道中途离开轨道，则小球离开轨道位置必在MN之间，根据到达MN点的临界条件由动能定理求解小球在水平面上运动的距离范围．