Question

9．一同学要研究轻质弹簧的弹性势能与弹簧长度改变量的关 系，他的实验如下：在离地面高度为h的光滑水平桌面上，沿着与桌子边缘垂直的方向放置一轻质弹簧，其左端固定，右端与质量为m的一小钢球接触．当弹簧处于自然长度时，小钢球恰好在桌子边缘，如图所示．让钢球向左压缩弹簧一段距离后由静止释放，使钢球沿水平方向射出桌面，小球在空中飞行后落到水平地面，水平距离为S． 
（1）请你推导出弹簧的弹性势能E_P与小钢球质量m、桌面离地面高度h，水平距离S等物理量的关系式：E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$．
（2）弹簧的压缩量x与对应的钢球在空中飞行的水平距离S的实验数据如表所示：

弹簧长度压缩量x（cm）	1.00	1.50	2.00	2.50	3.00	3.50
钢球飞行水平距离S（m）	1.01	1.50	2.01	2.48	3.01	3.50

从上面的实验数据，请你猜测弹簧的弹性势能E_P与弹簧长度的压缩量x之间的关系，并说明理由：E_P与x²成正比．

Answer 1

分析 根据平抛运动规律可以求出钢球离开桌面时的速度大小，根据功能关系可以求出弹性势能的表达式．
先从实验数据得出弹簧的压缩量与小球的射程的关系，再结合第一小问中结论得到弹性势能与小球的射程的关系，最后综合出弹簧的弹性势能E_P与弹簧长度的压缩量x之间的关系．

解答 解：（1）设桌子高度为h，小球离开桌面后做平抛运动，
水平方向：s=v₀t，
竖直方向有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立解得：v₀=$s\sqrt{\frac{g}{2h}}$，
根据功能关系可知弹簧弹性势能转化为小球平抛的初动能，有：
E_P=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，解得E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$．
（2）E_p与弹簧的压缩量x之间的关系为：E_p与x²成正比．
猜测的理由：由于E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$，可知E_p与s²成正比，由表中数据可看出，在误差范围内，x正比于s，猜测可能E_p与x²也成正比．
故答案为：（1）E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$，（2）E_P与x² 成正比．

点评 本题借助于平抛运动以及数学推导考查了弹性势能和弹性形变量之间的关系，是考查知识综合应用、公式理论推导的好题，其中得到弹性势能表达式是个重点，难点是猜测E_p与弹簧的压缩量x之间的关系，弹性势能的表达式为：${E}_{p}=\frac{1}{2}k{x}^{2}$，故我们的猜测是完全正确的．