Question

12．物体A在地面上足够高的空中以速度v₁平抛，与此同时，物体B在A正下方距离h处以速度v₂竖直上抛，不计空气阻力，则二者在空中运动时的最近距离为（　　）

• A． h$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$
• B． h$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$
• C． h$\frac{{v}_{1}}{\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{2}}^{2}}}$
• D． h$\frac{{v}_{2}}{\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{2}}^{2}}}$

Answer 1

分析 物体A做平抛运动，B做竖直上抛运动；将平抛运动沿着水平和竖直方向正交分解，根据位移时间公式和几何关系得到二者距离与运动时间的关系式，利用数学知识求解．

解答 解：设两个物体运动时间t时相距为S．
根据位移时间公式和几何关系得：S²=（v₁t）²+[h-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$-（v₂t-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$）]²=（v₁²+v₂²）t²-2hv₂t+h²．
根据数学知识可得 S²的最小值为：S²_min=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4（{v}_{1}^{2}+{v}_{2}^{2}）{h}^{2}-（2h{v}_{2}）^{2}}{4（{v}_{1}^{2}+{v}_{2}^{2}）}$=$\frac{{h}^{2}{v}_{1}^{2}}{{v}_{1}^{2}+{v}_{2}^{2}}$
所以S的最小值为：S_min=h$\frac{{v}_{1}}{\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{2}}^{2}}}$
故选：C

点评 解决本题关键知道平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，要明确两个物体位移上存在的几何关系，运用数学知识求间距的极小值．