Question

6．如图所示，一玻璃球体的半径为R，O为圆心，AB为直径，在B点有一单色光源（可向各个方向发射光线），其中其发出的光从M点折射出时折射光线恰好与AB平行，测得A、M之间的弧长为$\frac{πR}{3}$．
（1）求玻璃球体对该单色光的折射率；
（2）光在真空中的传播速度为c，若不考虑光反射后的折射，求能射出玻璃球体的光在玻璃球体中传播时间的范围．

Answer 1

分析 （1）画出光线BM的光路图，由几何知识求出光线在M点的入射角和折射角，再求出折射率n．
（2）由sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角．设光线在N点恰好发生全反射，入射角等于临界角，再由几何知识求解光在在玻璃球体中传播距离的范围，由v=$\frac{c}{n}$求得光在在玻璃球体中传播速度，即可求得光在玻璃球体中传播时间的范围．

解答 解：（1）设光线BM在M点发生折射时对应的入射角为i，折射角为r．

由公式l=θR知：弧AM对应的圆心角 θ=$\frac{l}{R}$=$\frac{π}{3}$=60°
由几何知识可知：∠ABM=$\frac{1}{2}$θ=30°
则 i=∠ABM=$\frac{1}{2}$θ=30°
根据折射定律得：n=$\frac{sinr}{sini}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$
（2）光在在玻璃球体中的传播速度 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c
设光线恰好在N点发生全反射，则∠BNO等于临界角C，有：
  sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
光由B传到N的时间 t₁=$\frac{BN}{v}$
由几何知识可知，等腰三角形NOB中，BN的距离：BN=2RcosC=2R$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$R
联立求得：光由B传到N的时间 t₁=$\frac{2\sqrt{2}R}{c}$
光由B传到A的时间为 t₂=$\frac{AB}{c}$=$\frac{2\sqrt{3}R}{c}$
所以所求的时间范围为 $\frac{2\sqrt{2}R}{c}$＜t≤$\frac{2\sqrt{3}R}{c}$．
答：
（1）玻璃球体对该单色光的折射率是$\sqrt{3}$；
（2）能射出玻璃球体的光在玻璃球体中传播时间的范围为 $\frac{2\sqrt{2}R}{c}$＜t≤$\frac{2\sqrt{3}R}{c}$．

点评 解决几何光学问题的关键要正确作出光路图，分析隐含的临界情况，知道全反射的条件，再结合折射定律和几何知识进行处理．