Question

10．如图所示，相距均为L的光滑倾斜导轨MN、PQ与光滑水平导轨NS、QT连接，水平导轨处在磁感应强度大小为B，方向竖直向上的匀强磁场中．光滑倾斜导轨处在磁感应强度大小也为B，方向垂直于倾斜导轨平面斜向下的匀强磁场中，如图．质量均为m、电阻均为R的金属导体棒ab、cd垂直于导轨分别放在倾斜导轨和水平导轨上，并与导轨接触良好，不计导轨电阻．现用绝缘细线通过定滑轮将金属导体棒ab、cd连接起来．质量为2m的物体C用绝缘细线通过定滑轮与金属导体棒cd连接．细线沿导轨中心线且在导轨平面内，细线及滑轮质量、滑轮摩擦均不计．已知倾斜导轨与水平面的夹角θ=30⁰，重力加速度为g，导轨足够长，导体棒ab始终不离开倾斜导轨，导体棒cd始终不离开水平导轨．物体C由静止释放，当它达到最大速度时下落高度h=$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$，试求这一运动过程中：
（1）物体C能达到的最大速度V_m是多少？
（2）金属棒ab产生的焦耳热是多少？
（3）连接ab棒的细线对ab棒做的功是多少？

Answer 1

分析 （1）由静止释放M，ab棒先向上做加速运动，cd棒在水平方向做加速运动，随着速度增大，产生的感应电流增大，所受的安培力增大，加速度减小，当加速度为零时做匀速运动，速度就达到最大值．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律推导出安培力与速度的关系式，结合平衡条件求解最大速度．
（2）在ab棒和cd棒从开始运动到匀速运动的过程中，系统的重力势能减小，转化为系统增加的动能和焦耳热，根据能量守恒求出总的焦耳热，再由焦耳定律求电阻ab上产生的热量．
（3）对导体棒ab，这一过程中细线对其做的功为W，转化为棒的动能、重力势能和产生的内能，则由能的转化和守恒定律即可求得结果．

解答 解：（1）设C达到的最大速度为v_m，由法拉弟电磁感应定律得回路的感应电动势为：E=2BLv_m…①
由欧姆定律得回路中的电流强度为：I=$\frac{E}{2R}$…②
金属导体棒ab、cd受到的安培力为：F=BIL…③
设连接金属导体棒ab与cd的细线中张力为T₁，连接金属导体棒cd与物体C的细线中张力为T₂，导体棒ab、cd及物体C的受力如图：由平衡条件得：

T₁=mgsin30°+F，
T₂=T₁+F，
T₂=2mg…④
联立①②③④解得：${v}_{m}=\frac{3mgR}{4{B}^{2}{L}^{2}}$…⑤
（2）对物体C、导体棒ab、导体棒cd组成的系统，由于导体棒ab、cd的电阻相等，流过的电流时刻相等，故两棒产生的内能E相等．由能的转化和守恒定律得：

 $2mgh=\frac{1}{2}×2m{v}_{m}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}+mghsin30°+2E$…⑥
联立⑤⑥将h=$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$代入解得：E=$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{L}^{4}}$…⑦
（3）对导体棒ab，设这一过程中细线对其做的功为W，则由能的转化和守恒定律得：
W=mghsin30°+$\frac{1}{2}m{v}^{2}+E$…⑧
联立⑤⑦⑧三式解得：W=$\frac{31{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}^{4}}$      
答：（1）物体C能达到的最大速度V_m是$\frac{3mgR}{4{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）金属棒ab产生的焦耳热是$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）连接ab棒的细线对ab棒做的功是$\frac{31{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题有两个关键：一是推导安培力与速度的关系；二是对物体C、导体棒ab、导体棒cd组成的系统，由于导体棒ab、cd的电阻相等，流过的电流时刻相等，故两棒产生的内能E相等，对于它们的结果要理解记牢，有助于分析和处理电磁感应的问题．