Question

19．如图所示，在平面直角坐标系中的x＜0的区域内存在电场强度为E的匀强电场，有有一半径为R的绝缘半圆轨道，其直径与x轴重合，B点位半圆形轨道的左端点，C点位轨道的最低点，且最右端与y轴相切于坐标原点．现在半圆左侧正上方距X轴相距为2R的地方由静止释放一质量为m、电量为+q的粒子，该粒子恰好能沿着半圆形轨道的Q最左端进入轨道．当质点离开坐标原点后，马上进入在x≥0另一匀强电场区域，且质点恰好在坐标为（2R，R）的D点处到达最高点，其速度大小与坐标原点处的速度大小相等．试求：
（1）粒子在半圆最低点对轨道的作用力；
（2）确定在x≥0区域的电场强度E′．

Answer 1

分析 （1）对从开始点到C点过程根据动能定理列式；在C点，电场力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；粒子对轨道的压力与轨道对粒子的支持力是相互作用力，相等；
（2）对从开始点到O点过程根据动能定理列式求解末速度；进入y轴右侧后，水平分运动是匀加速直线运动，竖直分运动是匀减速直线运动，对水平分运动和竖直分运动分别列式求解．

解答 解：（1）对从开始点到C点过程，根据动能定理，有：
qE•3R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0
在C点，根据牛顿第二定律，有：
N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
根据牛顿第三定律，有：
N′=N
联立解得：
N′=mg+6qE
（2）对从开始点到O点过程，根据动能定理，有：
qE•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{o}^{2}$-0
解得：
${v}_{o}=\sqrt{\frac{4qER}{m}}$
进入y轴右侧后，水平分运动是匀加速直线运动，竖直分运动是匀减速直线运动，故：
水平分运动：$q{E}_{x}•2R=\frac{1}{2}m{v}_{x}^{2}$-0   2R=$\frac{{v}_{x}}{2}t$
竖直分运动：$-q{E}_{y}•R=0-\frac{1}{2}m{v}_{o}^{2}$   R=$\frac{{v}_{y}}{2}t$=$\frac{{v}_{0}}{2}t$
合场强：E′=$\sqrt{{E}_{x}^{2}+{E}_{y}^{2}}$  tanθ=$\frac{{E}_{y}}{{E}_{x}}$
联立解得：E′=2$\sqrt{5}$E    θ=arctan$\frac{1}{2}$
答：（1）粒子在半圆最低点对轨道的作用力为mg+6qE；
（2）确定在x≥0区域的电场强度E′为2$\sqrt{5}$E，与+x轴的夹角为arctan$\frac{1}{2}$．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动情况，找到向心力来源，根据牛顿第二定律列式求解；在y轴右侧时，考虑水平分运动和竖直分运动，分别根据动能定理和运动学公式列式求解．