Question

1．已知地球半径为R₀，地球表面重力加速度为g₀，不考虑地球自转的影响．
（1）推导第一宇宙速度v₁的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，重力等于万有引力，引力等于向心力，列式求解；
（2）根据万有引力提供向心力即可求解．

解答 解：（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，不考虑地球自转的影响，在地球表面物体所受重力等于地球对物体的引力
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$ 
整理得G M=R ²g     ①
卫星在地表附近做匀速圆周运动受到的万有引力提供向心力
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$②
①式代入 ②式，得到 v₁=$\sqrt{gR}$
（2）若卫星在距地面高为h上空做匀速圆周运动时，所受到的万有引力为：
   $F=\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$ ③
由牛顿第二定律：
$F=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$ ④
①、③、④联立解得
T=$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$
答：（1）地球第一宇宙速度的表达式v₁=$\sqrt{gR}$；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，卫星的运行周期T的表达式T=$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$．

点评 卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解．