Question

劲度系数为k的轻弹簧，竖直放置在地面上，其上端固定有质量为M的钢板，处于静止状态，如图甲所示，现有一质量为m的小球从距钢板H的高处自由下落并与之发生碰撞，碰撞时间极短且无机械能损失．已知M=3m，弹簧振子的周期T=2π

M/k

．
（1）求小球与钢板第一次碰撞后瞬间，小球的速度v₁和钢板的速度v₂．
（2）要使小球与钢板每次都在同一高度相碰（即钢板的初始位置），求钢板质量的最大值．
（3）以小球自由下落的瞬间为计时起点，以向下为正方向，以

v0

g

的值作为1个时间单位（v₀为小球第一次刚落到钢板时的速度值）．试在图乙中画出小球的v-t图线；要求至少画出小球与钢板发生第三次碰撞前的图线）．

Answer 1

分析：（1）小球碰前做自由落体运动，碰撞过程系统动量和机械能均守恒，根据守恒定律列式后联立求解即可；
（2）要使小球与钢板每次都在同一高度相碰，则小球返回时间为钢板简谐运动半周期的奇数倍，根据等时性列式后联立求解；
（3）根据动量守恒定律和机械能守恒定律联立求解出第二次碰撞后小球和钢板的速度，同理再求解第二次碰撞后小球和钢板的速度，…，最后做v-t图象．

解答：解：（1）设小球落至钢板时速度为v₀，
由机械能守恒定律得　　mgH=

1

2

mv₀²　　　　              ①
碰撞过程中动量守恒　　mv₀=mv₁+Mv₂　　　　　　  　　　　②
机械能无损失　　　　　

1

2

mv₁²+

1

2

Mv₂²=

1

2

mv₀² 　　 　　　　③
联立求解得 　　
v0=

2gH

                                      ④
小球的速度v₁=-

1

2

v₀=-

1

2

2gH

，负号表示方向向上   　　⑤
钢板的速度v₂=

1

2

v₀=

1

2

2gH

，方向竖直向下  　　　　　 ⑥
（2）由（1）可知，碰撞后小球做竖直上抛运动，钢板（连同弹簧）以

1

2

v₀向下做简谐运动，要使m与M第二次碰撞仍发生在原位置，则小球重新落回到O处所用的时间应满足：
t=nT+

1

2

T　　　                                     ⑦
当M取最大值时，有：t=

1

2

T　　　　　　　　　　　　　　　　⑧
小球做竖直上抛运动，有　　t=

v0

g

　　　　　　　　　　　　⑨
已知　　　　　　T=2π

M k

联立求解得　　　　M=

2kH

gπ2

⑩
（3）小球与钢板的第二次碰撞应满足

1

2

mv₀-

1

2

Mv₀=mv₃+Mv₄

1

2

m（

1

2

v₀）²+

1

2

M（

1

2

v₀）²=

1

2

mv₃²+

1

2

Mv₄²
解得，v₃=-v₀，方向竖直向上；v₄=0；
当小球再次落回与钢板发生第三次碰撞时，第三次碰撞是第一次碰撞的重复；此后过程将周而复始地进行．
小球的v-t图线如图所示．

答：（1）小球与钢板第一次碰撞后瞬间，小球的速度为-

1

2

2gH

和钢板的速度为

1

2

2gH

．
（2）要使小球与钢板每次都在同一高度相碰（即钢板的初始位置），钢板质量的最大值为

2kH

gπ2

．
（3）小球的v-t图线如图所示．

点评：本题关键明确小球和钢板的运动规律，根据动量守恒定律和机械能守恒定律多次列式后联立求解，第二问找出临界情况是关键，第三问找出重复性是关键．