Question

1．甲、乙两颗绕地球作匀速圆周运动人造卫星，其线速度大小之比为$\sqrt{2}$：1，则这两颗卫星的运转半径之比为1：2，运转周期之比为1：$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，得出线速度、周期与轨道半径的关系，从而求出向心力、线速度、周期之比．

解答 解：根据$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{r}$，得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，$r=\frac{GM}{{v}^{2}}$
所以：$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{{v}_{2}^{2}}{{v}_{1}^{2}}=\frac{1}{2}$
根据：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$．
所以周期之比为：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}}=\sqrt{\frac{1}{8}}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$
故答案为：1：2，1：2$\sqrt{2}$

点评 该题考查人造卫星的应用，解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，知道线速度、周期与轨道半径的关系．