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    20．如图所示，一根有一定电阻的直导体棒质量为m、长为L，其两端放在位于水平面内间距也为L的光滑平行导轨上，并与之接触良好；棒左侧两导轨之间连接一可控电阻；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨所在平面．t=0时刻，给导体棒一个平行于导轨的初速度，此时可控电阻的阻值为R0．在棒运动过程中，通过可控电阻的变化使棒中的电流强度保持恒定．不计导轨电阻，导体棒一直在磁场中
    （1）导体棒做什么运动？求可控电阻R随时间t变化的关系式；
    （2）若已知棒中电流强度为I，求0～t时间内可控电阻上消耗的平均功率P；
    （3）若在棒的整个运动过程中将题中的可控电阻改为阻值为R0的定值电阻，则棒将减速运动位移x1后停下，而由题中条件，棒将运动位移x2后停下，求$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值．

    分析 （1）使棒中的电流强度保持恒定，结合欧姆定律知I=$\frac{E}{{R}_{0}+r}$为定值，由于棒做匀减速运动，故感应电动势随时间减小，由此的到R随时间的变化关系；
    （2）电阻随时间均匀减小，故电阻的功率可用平均功率等效代替，P=I2•$\frac{R+{R}_{0}}{2}$．
    （3）将可控电阻改为定值电阻R0，棒将变减速运动．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式，求出x1．由匀变速直线运动的规律求出x2，即可解答．

    解答 解：（1）因棒中的电流强度保持恒定，棒所受的安培力一定，故棒做匀减速直线运动．           
    设棒的电阻为r，电流为I，其初速度为v0，加速度大小为a，经时间t后，棒的速度变为v，
    则有：v=v0-at                                
    而a=$\frac{BIL}{m}$                                     
    t=0时刻棒中电流为：I=$\frac{BL{v}_{0}}{{R}_{0}+r}$                        
    经时间t后棒中电流为：I=$\frac{BLv}{R+r}$                       
    由以上各式得：R=R0-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{m}t$                       
    （2）因可控电阻R随时间t均匀减小，故所求功率为：P=I2•$\frac{R+{R}_{0}}{2}$            
    由以上各式得：P=I2（$\frac{{B}^{2}{L}^{2}t}{2m}$）                            
    （3）将可控电阻改为定值电阻R0，棒将变减速运动．
    则通过金属棒的电荷量 q=$\overline{I}$t′
    又 $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{{R}_{0}+r}$，$\overline{E}$=BL$\overline{v}$
    而x1=$\overline{v}$t′
    联立得 q=$\frac{BL{x}_{1}}{{R}_{0}+r}$
    根据动量定理得：
    -B$\overline{I}$Lt′=0-mv0；
    即BLq=mv0；
    联立可得 x1=$\frac{m{v}_{0}（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
    而x2=$\frac{{v}^{2}}{2a}$
    由以上各式得 x2=$\frac{m{v}_{0}（{R}_{0}+r）}{2{B}^{2}{L}^{2}}$                    
    则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2}{1}$
    答：
    （1）导体棒做做匀减速直线运动，可控电阻R随时间t变化的关系式为 R=R0-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{m}t$；
    （2）若已知棒中电流强度为I，0～t时间内可控电阻上消耗的平均功率P为I2（$\frac{{B}^{2}{L}^{2}t}{2m}$）；
    （3）$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值为$\frac{2}{1}$．

    点评 解决本题的关键知道分析导体棒受力情况，应用闭合电路欧姆定律和牛顿第二定律求解，注意对于非匀变速运动求位移，要用平均速度与时间相乘，熟练推导出电荷量与位移的关系以及动量定理，从而求解位移．

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