Question

18．如图所示，两条金属导轨MN、PQ导轨间距为L，$\frac{1}{4}$圆弧导轨上端连接一阻值为R的电阻，质量为m的金属棒与两导轨垂直，金属棒的有效阻值为R₀，现从圆心角为60°位置自静止起沿光滑的弧形导轨下滑，进入光滑导轨的水平部分，导轨的水平部分处于竖直向下的匀强磁场中，已知圆弧半径为r，磁感应强度为B．ab右侧整个水平导轨足够长并处于广阔的匀强磁场中，ab左侧无磁场，不考虑边缘效应，导轨电阻都不计，已知重力加速度为g．求：
（1）金属棒运动到ab位置，进入磁场后的瞬时安培力大小？
（2）金属棒进入磁场区域后，通过电阻R的电流方向？从开始运动到停下来过程中，电阻R上所产生的焦耳热？
（3）如果经过t时间，金属棒运动x后停了下来，则流过R的电荷量是多少？

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求解金属棒达到ab时的速度大小，根据法拉第电磁感应定律结合安培力的计算公式求解安培力大小；
（2）根据右手定则判断电流方向，据焦耳定律、能量守恒定律列方程求解R上产生的焦耳热；
（3）根据法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律结合电荷量的计算公式求解．

解答 解：（1）设金属棒达到最底部的速度为v，根据机械能守恒定律可得：
ngr（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得v=$\sqrt{gr}$；
根据法拉第电磁感应定律可得：E=BLv=BL$\sqrt{gr}$，
根据安培力的计算公式可得：F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+{R}_{0}}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{gr}}{R+{R}_{0}}$；
（2）根据右手定则可知，流过R的电流方向M→R→P，
根据焦耳定律Q=I²Rt可得：$\frac{{Q}_{R0}}{{Q}_{R}}=\frac{{R}_{0}}{R}$，
根据能量守恒定律可得Q_总=mg$•\frac{r}{2}$，
解得：Q_R=$\frac{R}{R+{R}_{0}}•{Q}_{总}$=$\frac{mgrR}{2（R+{R}_{0}）}$；
（3）根据法拉第电磁感应定律可得$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$，
根据闭合电路的欧姆定律可得$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+{R}_{0}}$，
根据电荷量的计算公式可得q=$\overline{I}•△t$=$\frac{△Φ}{R+{R}_{0}}$=$\frac{BLx}{R+{R}_{0}}$．
答：（1）金属棒运动到ab位置，进入磁场后的瞬时安培力大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{gr}}{R+{R}_{0}}$；
（2）金属棒进入磁场区域后，通过电阻R的电流方向M→R→P；从开始运动到停下来过程中，电阻R上所产生的焦耳热为$\frac{mgrR}{2（R+{R}_{0}）}$；
（3）如果经过t时间，金属棒运动x后停了下来，则流过R的电荷量是$\frac{BLx}{R+{R}_{0}}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．