如图所示.在xOy坐标系的第一象限内有匀强磁场.磁场方向垂直纸面向里.磁场区域上边界刚好与直线y=2a重合.磁感应强度为B．一个带负电的粒子在坐标为(x.0)的A点以某一速度进入磁场区域.进入磁场时的速度方向与x轴负方向的夹角为30°.粒子质量为m.电荷量为q.不计粒子的重力．(1)若粒子离开磁场时的位置在C点.其坐标为.粒子运动的速度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图所示，在xOy坐标系的第一象限内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁场区域上边界刚好与直线y=2a重合，磁感应强度为B．一个带负电的粒子在坐标为（x，0）的A点以某一速度进入磁场区域，进入磁场时的速度方向与x轴负方向的夹角为30°，粒子质量为m，电荷量为q，不计粒子的重力．
（1）若粒子离开磁场时的位置在C点，其坐标为（x，2a），粒子运动的速度大小v与x的对应条件．
（2）粒子进入磁场的速度满足什么条件时可使离子在磁场区域运动的时间最长？并求出最长时间是多少？

分析（1）粒子进入磁场时由洛伦兹力充当向心力做匀速圆周运动，依题意画出轨迹，根据几何关系得到轨迹半径，得到x与a的关系，再由牛顿第二定律求解．
（2）要使离子在磁场区域运动的时间最长，轨迹对应的圆心角应最大，轨迹最长，画出轨迹，求出轨迹对应的圆心角，即可解得．

解答解：（1）依题意作过A、C两点的圆，此圆对应的圆心为O₁，如图虚线所示．设该圆的半径为r，则由几何关系可得：
∠AO₁C=120°，作垂直AC的半径O₁N与AC交于M，则有
MN=MO₁=$\frac{r}{2}$
其中 r=$\frac{a}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a
故要使带电粒子能到达C点，x应满足条件 x≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
由牛顿第二定律有 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得 r=$\frac{mv}{qB}$
解得 v=$\frac{2\sqrt{3}qBa}{3m}$
（2）当带电粒子从x轴射出时运动时间最长，如图所示为粒子在磁场区域运动的最长时间的运动轨迹，圆心为O₂，PO₂Q与x轴垂直，设该圆的半径为r′，由几何关系有：

r′+r′cos30°=2a
解得 r′=4（2-$\sqrt{3}$）a
又因为 qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r′}$
得 v′=$\frac{qBr′}{m}$=$\frac{4（2-\sqrt{3}）qBa}{m}$
粒子在磁场区域运动的最长时间 t=$\frac{5}{6}T$=$\frac{5}{6}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{5πm}{3qB}$
答：
（1）若粒子离开磁场时的位置在C点，其坐标为（x，2a），粒子运动的速度大小v对应条件是v=$\frac{2\sqrt{3}qBa}{3m}$，x的对应条件是x≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．
（2）粒子进入磁场的速度满足条件：v′=$\frac{4（2-\sqrt{3}）qBa}{m}$时可使离子在磁场区域运动的时间最长，最长时间是$\frac{5πm}{3qB}$．

点评本题是粒子在磁场中做匀速圆周运动类型，掌握洛伦兹力与向心力的表达式，理解牛顿第二定律与几何关系的应用，注意画出正确的运动轨迹图，是解题的关键．

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