Question

11．如图所示，ace和bdf是间距为L的两根足够长平行导轨，其中ac、bd段光滑，ce、df段粗糙，导轨平面与水平面的夹角为θ．整个装置处在磁感应强度为B，方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，ab之间连有阻值为R的电阻．若将一质量为m的金属棒置于ef端，今用大小为F，方向沿斜面向上的恒力把金属棒从ef位置由静止推至距ef端s处的cd位置（此时金属棒已经做匀速运动），现撤去恒力F，金属棒最后又回到ef端（此时金属棒也已经做匀速运动）．若不计导轨和金属棒的电阻，且金属棒与ce、df段的动摩擦因数为μ．
求：（1）金属棒上滑过程中的最大速度；
（2）金属棒下滑过程的末速度；
（3）金属棒自ef端上滑再回到ef端的过程中，电阻R产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）当棒的加速度为零时，棒的速度最大．根据共点力平衡求出EF下滑的最大速度．
（2）金属棒下滑到ef时已经做匀速运动，用与上题同样的方法求金属棒下滑过程的末速度．
（3）棒先向上减速至零，然后从静止加速下滑，在滑回ef之前已达最大速度开始匀速，结合能量守恒定律求出电阻R上产生的焦耳热．

解答 解：（1）金属棒上滑过程中，加速度为零时速度最大，设最大速度为v₁，此时棒所受的安培力：F_安=BIL=B•$\frac{BL{v}_{1}}{R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
根据平衡条件得：mgsinθ+F_安+μmgcosθ=F
解得：v₁=$\frac{（F-mgsinθ-μmgcosθ）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）设金属棒下滑过程的末速度为v₂，此时棒做匀速运动，则有：
   mgsinθ=μmgcosθ+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$
解得：v₂=$\frac{mg（sinθ-μcosθ）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）金属棒自ef端上滑再回到ef端的过程中，设电阻R产生的焦耳热为Q．
根据能的转化与守恒定律：
  Q=Fs-2μmgscosθ-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=Fs-2μmgscosθ-$\frac{m{g}^{2}（sinθ-μcosθ）^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$ 
答：
（1）金属棒上滑过程中的最大速度是$\frac{（F-mgsinθ-μmgcosθ）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）金属棒下滑过程的末速度是$\frac{mg（sinθ-μcosθ）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）金属棒自ef端上滑再回到ef端的过程中，电阻R产生的焦耳热是Fs-2μmgscosθ-$\frac{m{g}^{2}（sinθ-μcosθ）^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题综合考查了共点力平衡、能量守恒定律，综合性较强，关键要能推导出安培力与速度的关系式，正确分析能量是如何转化的．