Question

11．游乐场的过山车可以底朝上通过圆轨道的最高点而不掉下，我们把这种情况抽象为如图所示的物理模型：小球从高为h处由静止沿弧形轨道滚下，进入圆轨道运动，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点Q而不脱离轨道．如果已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力．求：
（1）小球运动到圆轨道最高点Q处的速度至少为多少时，才能不脱离轨道．
（2）要使小球不脱离圆轨道，h至少要等于多少．

Answer 1

分析 （1）小球运动到圆轨道最高点Q处，恰好由重力提供向心力时，到达Q处的速度最小，由向心力公式求解．
（2）结合临界速度，由机械能守恒定律或动能定理求解．

解答 解：（1）在圆轨道的最高点，根据牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$，解得：v_Q=$\sqrt{gR}$，即小球运动到圆轨道最高点Q处的速度至少为$\sqrt{gR}$时，才能不脱离轨道．
（2）从释放到圆轨道最高点的过程，根据动能定理得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}$mv_Q²，
解得：h=2.5R．
答：（1）小球运动到圆轨道最高点Q处的速度至少为$\sqrt{gR}$时，才能不脱离轨道．
（2）要使小球不脱离圆轨道，h至少要等于2.5R．

点评 本题考查了动能定理与圆周运动的综合，要注意圆轨道最高点的最小速度不是零，要根据重力等于向心力求出临界速度．