Question

15．电阻可忽略的光滑平行金属导轨长s=1.15m，两导轨间距L=0.75m，导轨与水平面的倾角为30°，导轨上端ab接一阻值R=1.5Ω的电阻，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场垂直导轨平面向上．阻值r=0.5Ω、质量m=0.2kg的金属棒与导轨垂直且接触良好，从导轨上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热Q_r=0.1J．取g=10m/s²．试求：
（1）金属棒在此过程中克服安培力做的功．
（2）金属棒下滑过程中速度v=2m/s时的加速度．
（3）金属棒下滑的最大速度．（计算结果可保留根号）

Answer 1

分析 （1）已知金属棒产生的焦耳热Q_r=0.1J，R与r串联，根据焦耳定律分析它们产生的热量关系，从而求得回路产生的总焦耳热，即为金属棒克服安培力的功W_安．
（2）分析金属棒的受力分析，导体棒受到重力，支持力，安培力，求出安培力，得到合力，可以求得加速度．
（2）当金属棒的加速度为零时，速度最大，由上题结果求解最大速度．

解答 解：（1）设金属棒在此过程中克服安培力做的功为W_安．金属棒下滑过程中克服安培力做的功等于在电阻上产生的焦耳热，由题意可知R=3r，则
由焦耳定律Q=I²Rt得 Q_R=3Q_r…①
金属棒在此过程中克服安培力做的功 W_安=Q=Q_R+Q_r…②
联立①②式，代入数据解得：W_安=0.4J
（2）设金属棒下滑过程中速度v=2m/s时的加速度a，电路中的电流为I．由题意可知金属棒下滑时受重力和安培力作用，则
F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$…③
由牛顿第二定律得：mgsin 30°-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=ma…④
联立③④式，代入数据解得：a=3.2 m/s²
（3）金属棒下滑时做加速度减小的加速运动，无论最终是否达到匀速，当棒到达斜面底端时速度一定为最大．设金属棒下滑的最大速度为v_m，则由动能定理有
 mgssin 30°-W_安=$\frac{1}{2}$mv_m²…⑤
联立①②⑤式，代入数据解得：v_m=$\frac{{\sqrt{30}}}{2}$m/s=2.74 m/s
答：
（1）金属棒在此过程中克服安培力的功W_安是0.4J．
（2）金属棒下滑速度v=2m/s时的加速度a是3.2m/s²．
（3）金属棒下滑的最大速度是2.74m/s．

点评 本题关键要分析功能关系，并对金属棒正确受力分析，应用安培力公式、牛顿第二定律等，即可正确解题．