Question

如图所示，一质量为m的小球自光滑斜面顶端A由静止开始自由滑下，在斜面底端B进入半径为R的光滑圆形轨道，已知小球在B处无能量损失，式求：
（1）A点离轨道最底点至少多高时，小球就可以到达圆形轨道的最高点？
（2）此过程中，小球通过圆形轨道的最底点B时对轨道的压力有多大？

Answer 1

分析：（1）小球恰能到达最高点C点时，只受重力作用，用牛顿第二定律可得此位置的速度，由A到C的过程中机械能守恒，列式可得A点的高度
（2）由A到B的过程机械能守恒，可求出小球在B点的速度，再对小球受力分析，由牛顿第二定律可得轨道对小球的支持力，结合牛顿第三定律可得小球对轨道的压力．

解答：解：（1）小球恰能到达圆形轨道的最高点C点时，重力提供向心力，由牛顿第二定律有：
mg=m

v 2 c

R

解得：vc=

Rg

小球由A到C的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则有：
mgh=

1

2

m

v

2 c

+mg?2R
解得：h=

5

2

R
（2）小球由A到B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则有：
mgh=

1

2

m

v

2 B

解得：vB=

5Rg

小球在B点时，受力分析，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，合力提供向心力，则由牛顿第二定律有：
FN-mg=m

v 2 B

R

解得：F_N=6mg
由牛顿第三定律有：

F

′ N

=FN=6mg
答：（1）A点离轨道最底点至少多为

5

2

R时，小球就可以到达圆形轨道的最高点．
（2）此过程中，小球通过圆形轨道的最底点B时对轨道的压力为6mg．

点评：该题考查了机械能守恒，要熟练的掌握机械能守恒的条件以及重力做功的特点；此题的关键是向心力的确定，知道小球恰能通过圆形轨道最高点的条件是速度为v=

gR

，小球运动到圆形轨道的最低点时，支持力和重力的合力提供向心力．若要求的是小球对轨道的压力，一定不要忘记牛顿第三定律．