Question

如图是一个货物运输装置示意图，BC是平台，AB是长L=12m的传送带，BA两端的高度差h=2.4m．传送带在电动机M的带动下顺时针匀速转动，安全运行的最大速度为v_m=6m/s．假设断电后，电动机和传送带都立即停止运动．现把一个质量为20kg的货物，轻轻放上传送带上的A点，然后被传送带运输到平台BC上，货物与传送带之间的动摩擦因数为0.4．由于传送带较为平坦，可把货物对传送带的总压力的大小近似等于货物的重力（即sinθ=2.4/12=0.2，cosθ≈1）；由于轮轴等方面的摩擦，电动机（转化为机械功）的效率为80%．取g=10m/s²．求：
（1）要使该货物能到达BC平台，电动机需工作的最短时间．
（2）要把货物尽快地运送到BC平台，电动机的输出功率至少多大？
（3）如果电动机接在输出电压为120V的恒压电源上，电动机的内阻r=6Ω，在把货物最快地运送到BC平台的过程中，电动机消耗的电能共有多少？

Answer 1

分析：（1）要使时间最短，货物应一直加速，根据牛顿第二定律求解加速度，然后根据位移时间关系公式列式求解时间；
（2）已知货物的质量可以得到重力，已知重力和上升高度，利用W=Gh计算克服重力做的功；已知克服重力做的功和转化效率，可以得到电动机做的功；利用电动机做的功和做功时间，得到电动机的输出功率；
（3）电动机消耗的总电能包括两部分：克服重力做的功和产生热量消耗的电能，根据等量关系列出方程求解正常工作电流；根据W=UIt计算消耗的总电能．

解答：解：（1）要使时间最短，货物应一直加速，设匀加速上行的加速度为a₁，则有：
μmgcosθ-mgsinθ=ma₁
把sinθ=

2.4

12

=0.2，cosθ≈1代入上式得：
a₁=2m/s²．
由于受最大速度v_m=6m/s的限制，易知经过t₁=3s后货物匀速运动．
加速位移：
l₁=

1

2

v_m t₁=9m，
此后货物还得运动：
l₂=12m-9m=3m
假设此后电动机不工作，根据牛顿第二定律，有：
μmgcosθ+mgsinθ=ma₂
解得：a₂=6m/s²．
货物能够上滑的最大距离为：
S=

v 2 m

2a2

=

62

2×6

=3m，刚好能够到达平台，假设正确．
该货物能到达BC平台，电动机需工作的最短时间为：
t_min=t₁=3s．
（2）要把货物尽快地运送到BC平台，由第（1）小题可知货物应该先加速后匀速，在加速过程中，传送带受到的摩擦力：
f₁=μmgcosθ=80N
需提供的最大功率：
P₁=f₁v_m=80×6W=480W
之后匀速运动，受到的摩擦力：
f₂=mgsinθ=40N
电动机功率：
P₂=f₂v_m=40×6W=240W
考虑到效率，电动机的输出功率不得小于P_m=

P1

0.8

=600W．
（3）由上述分析可知，匀加速运动时间t₁=3s，此过程电动机的输出功率为P₁’=600W．
由P₁′=UI₁-I₁²r，解得I₁=10A．
消耗电能：
E₁=UI₁ t₁=120×10×3J=3600J．
匀速运动过程：
t₂=

l2

vm

=0.5s
此过程电动机的输出功率为：
P₂’=P₂/0.80=300W．
由P₂′=UI₂-I₂²r解得：
I₂=（10-5

2

）A．
消耗电能：
E₂=UI₂ t₂=120×（10-5

2

）×0.5J=（600-300

2

）J．
总消耗电能E=E₁+E₂=（4200-300

2

）J=3776J．
答：（1）要使该货物能到达BC平台，电动机需工作的最短时间为3s．
（2）要把货物尽快地运送到BC平台，电动机的输出功率至少为600W．
（3）如果电动机接在输出电压为120V的恒压电源上，电动机的内阻r=6Ω，在把货物最快地运送到BC平台的过程中，电动机消耗的电能共有3776J．

点评：电动机带动传送带升高物体的过程中，有两次能量转化：首先电能转化为电动机的机械能和线圈的内能；其次电动机的机械能转化成物体的重力势能和机械间摩擦产生的内能，所以效率是不断降低的．