Question

18．同步卫星A距地面高度为h，近地卫星B距地面高度忽略不计，地球半径为R，地面上赤道处物体C相对于地面静止．则A、B、C三者角速度、向心加速度和线速度的比例关系为ω_A：ω_B：ω_C=$\sqrt{{R}^{3}}$：$\sqrt{（R+h）^{3}}$：$\sqrt{{R}^{3}}$，，a_A：a_B：a_C=R²（R+h）：（R+h）³：R³，v_A：v_B：v_C=$\sqrt{R}$（R+h）：$\sqrt{（R+h）^{3}}$：$\sqrt{{R}^{3}}$．

Answer 1

分析 人造地球卫星均由万有引力充当向心力，则有公式可求得加速度及线速度的表达式；从而得出比值；由于地球上赤道上的物体万有引力不是全部充当向心力，不能直接求比；只能根据同步卫星与地球的自转周期相同，由a=rω²和v=rw求出A与C的加速度及线速度的关系，再由AB间的关系得出AC间的关系

解答 解：卫星的向心力由万有引力提拱，则对AB两卫星，由万有引力公式可求得向心加速度及线速度、角速度之比；
故G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r
可得：
a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$；v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
故同步卫星与近地卫星的加速度之比为：$\frac{{a}_{A}}{{a}_{B}}$=$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$；
线速度之比为：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\sqrt{\frac{R}{R+h}}$；
角速度之比为：$\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}$=$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{（R+h）^{3}}}$
对于AC，因同步卫星的角速度与地球上的物体的角速度相同，故由a=ω²R，v=ωR，
可得$\frac{{a}_{A}}{{a}_{C}}$=$\frac{R+h}{R}$；$\frac{{v}_{A}}{{v}_{C}}$=$\frac{R+h}{R}$，$\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{C}}$=$\frac{1}{1}$
综上知ω_A：ω_B：ω_C=$\sqrt{{R}^{3}}$：$\sqrt{（R+h）^{3}}$：$\sqrt{{R}^{3}}$，a_A：a_B：a_C=R²（R+h）：（R+h）³：R³，v_A：v_B：v_C=$\sqrt{R}$（R+h）：$\sqrt{（R+h）^{3}}$：$\sqrt{{R}^{3}}$
故答案为：$\sqrt{{R}^{3}}$：$\sqrt{（R+h）^{3}}$：$\sqrt{{R}^{3}}$，R²（R+h）：（R+h）³：R³，$\sqrt{R}$（R+h）：$\sqrt{（R+h）^{3}}$：$\sqrt{{R}^{3}}$．

点评 本题应注意由于地球表面的物体其万有引力充当了重力和向心力，故地球表面的物体不能直接利用万有引力公式，而是利用圆周运动的相关公式进行分析求解．