Question

【题目】如图所示，水平地面和半圆轨道面均光滑，质量M=1kg的小车静止在地面上，小车上表面与R=0.24m的半圆轨道最低点P的切线相平．现有一质量m=2kg的滑块（可视为质点）以v0=6m/s的初速度滑上小车左端，二者共速时小车还未与墙壁碰撞，当小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面的滑动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s2 ， 求：

（1）滑块与小车共速时的速度及小车的最小长度；
（2）滑块m恰好从Q点离开圆弧轨道时小车的长度；
（3）讨论小车的长度L在什么范围，滑块能滑上P点且在圆轨道运动时不脱离圆轨道？

Answer 1

【答案】
（1）解：由动量守恒知，mv0=（m+M）v1，得v1=4m/s

设小车的最小长度为L1

由能量守恒知 ，

得 L1=3m

答：滑块与小车共速时的速度为4m/s，小车的最小长度为3m；

（2）解：m恰能滑过圆弧的最高点，

小车粘在墙壁后，滑块在车上滑动，运动到最高点Q，在这个过程对滑块由动能定理：

解得：L2=1m

所以小车长度L=L1+L2=4m

答：滑块m恰好从Q点离开圆弧轨道时小车的长度为4m；

（3）解：由（2）可知，滑块要想运动到Q点，小车的长度L必须满足：3m≤L≤4m

若滑块恰好滑至 圆弧到达T点时就停止，则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．

小车粘在墙壁后，滑块在车上滑动，运动到T点，在这个过程对滑块由动能定理：

解得

此时小车的长度为L′=L1+L2′=5.8m，小车的长度满足：5.8m≤L≤7m．

答：小车的长度L在3m≤L≤4m或5.8m≤L≤7m范围，滑块能滑上P点且在圆轨道运动时不脱离圆轨道．

【解析】（1）滑块在小车滑行过程，系统所受的合外力为零，动量守恒，可求出共同速度．小车的长度与系统产生的内能有关．当两者速度相同滑块刚好滑到小车的右端时，小车的长度最短，根据能量守恒求解最小长度；（2）滑块m恰好从Q点离开圆弧轨道时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求得经过Q点时的速度．小车粘在墙壁后，滑块在车上滑动，对滑块从车上开始滑动到运动到Q点的过程，运用动能定理即可求得滑块滑过的距离，由几何关系求出小车的长度；（3）滑块不脱离圆轨道可能从Q点离开轨道，也可能滑到T点，根据动能定理结合上题的结果可求出L的范围．
【考点精析】掌握动能定理的综合应用和能量守恒定律是解答本题的根本，需要知道应用动能定理只考虑初、末状态，没有守恒条件的限制，也不受力的性质和物理过程的变化的影响.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用时间的动力学问题，都可以用动能定理分析和解答，而且一般都比用牛顿运动定律和机械能守恒定律简捷；能量守恒定律：能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移过程中，能量的总量保持不变．