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(1)若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点P处,则其在A点的初速度v0应为多大?
(2)若在(1)问情况下小车能安全到达E点,则能否安全通过第三个圆形轨道的Q点?
(3)若小车在A点的初速度为10
2
m/s,且R2=10m则小车能否安全通过整段轨道?
分析:(1)小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点P处,知道在P点小车的重力提供向心力,可求出P点的速度.根据几何关系求出AB的距离,然后对A到P运用动能定理求解.
(2)求出通过Q点的最小速度,然后对A到Q过程运用动能定理求出Q的速度,与Q点的最小速度进行比较,即可判断能否安全通过第三个圆形轨道的Q点.
(3)小车在A点的初速度为10
2
m/s,首先与第一问中的初速度比较,看能否安全通过第一个圆轨道;求出G点的最大速度,因为速度过大,会脱离轨道,然后对A到G运用动能定理求出G点的速度,与G点的最大速度进行比较,来判断能否安全通过.
解答:解:(1)小车恰好过P点,故有             mg=m
vp2
R1

得   vp=
gR1
   
   小车由A到P的过程,由动能定理有
   -μmgcosα?SAB=
1
2
mvp2-
1
2
mv02
   
由几何关系可得
               SAB=
R1
tan
α
2
       
由上面三个式子,并代入数据得
             v0=6
2
m/s
   
(2)设小车能够通过Q点,则A到Q由动能定理得
-μmgcosα(2SAB+SEF)=
1
2
mvQ2-
1
2
mv02
   
其中  SEF=
R3
tan
α
2

代入数据可得
      vQ=
42
m/s  
而车恰好能过Q点时,在Q点的速度为 vQ′=
gR3
=
30
m/s
   
vQ=
42
m/s>vQ

故小车能安全通过第三圆轨道      
(3)小车以v=10
2
m/s的初速度从P点下滑时,因为有v=10
2
m/s>v0=6
2
m/s

所以,小车可以通过第一圆形轨道       
设小车到中间圆弧最高点G的速度为vG,则A到G由动能定理得
-μmgcosα2SAB-mgh=
1
2
mvG2-
1
2
mv2
   
其中  h=R2(1-cosα)
代入数据可得 vG=
136
m/s
    
小车在最高点要不脱离轨道必须满足vG′<
gR2
=10m/s

所以小车在中间轨道上有脱离轨道的危险.即小车不能安全通过整段轨道.
点评:解决本题的关键知道在内轨道的最高点有最小速度,在外轨道的最高点有最大速度,否则会脱离轨道.以及会适当地选择研究过程,运用动能定理进行求解.
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