Question

13．如图所示，位于竖直平面上的$\frac{1}{4}$圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求：
（1）小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大？
（2）小球落地点C与B点水平距离s是多少？
（3）要使s达到最大值，则H和R间的关系如何？

Answer 1

分析 （1）小球由A→B过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律及向心力公式列式求解；
（2）小球从B点抛出后做平抛运动，根据平抛运动的位移公式求解；
（3）利用数学知识分析水平位移的表达式即可求解．

解答 解：（1）小球由A→B过程中，根据机械能守恒定律，有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：v_B=$\sqrt{2gR}$
小球在B点，根据牛顿第二定律，有：
F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
F_N=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=3mg
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力为3mg；
（2）小球由B→C过程，
水平方向有：s=v_B•t
竖直方向有：H-R=$\frac{1}{2}$gt²
解得s=2$\sqrt{（H-R）R}$
（3）水平距离：s=2$\sqrt{（H-R）R}$=$\sqrt{-（R-\frac{H}{2}）^{2}+\frac{{H}^{2}}{4}}$
所以，当R=$\frac{H}{2}$时，s最大
答：（1）小球运动到轨道上的B点时，求小球对轨道的压力为3mg；
（2）小球落地点C与B点水平距离s是2$\sqrt{（H-R）R}$；
（3）若轨道半径可以改变，则R=$\frac{H}{2}$时小球落地的水平距离s最大．

点评 本题关键对两个的运动过程分析清楚，然后选择机械能守恒定律和平抛运动规律列式求解．