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15.如图所示,一个竖直放置的圆锥筒,筒内壁光滑,筒底连接一高H的光滑细直管,细直管出口处固定一个夹角θ=60°、长L的V型水平槽.筒内壁高也为H处有一质量为m的小球,恰好能在水平面沿筒内壁做半径为R的匀速圆周运动,设小球在各接管口处转变速度方向时没有机械能损失,重力加速度取g.
(1)求小球转动的角速度ω;
(2)若小球转动的角速度突然变为ω=$\frac{\sqrt{gH}}{2R}$,求小球落入V型槽时的速度v;
(3)当小球从槽接管口的一端以速度v0=2$\sqrt{gH}$沿V型槽滑动时,为了使小球不会滑出槽口,则槽面对小球的动摩擦因数μ至少为多大?

分析 (1)小球在圆筒内做圆周运动,靠重力和支持力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律求出小球转动的角速度大小;
(2)根据机械能守恒求出小球落入V型槽时的速度v;
(3)根据动能定理求出槽面对小球的动摩擦因数大小.

解答 解:(1)小球在筒做匀速转动,它受到重力和支持力作用,它们的合力提供向心力,如图1:
则$\frac{mg}{tanα}$=mω2R,
由几何关系可知:tanα=$\frac{R}{H}$,
联立以上两式解得:ω=$\frac{\sqrt{gH}}{R}$.
(2)如果小球转动的角速度改为ω=$\frac{\sqrt{gH}}{2R}$,小球将沿筒内壁向下做螺旋线运动,再进入细直管,整个运动过程中只有重力做功,故机械能守恒,有:
mg•2H=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m(Rω)^{2}$,
解得:v=$\frac{\sqrt{17gH}}{2}$.
(3)对小球在V型槽运动进行受力分析,如图2:
由于三个力中每两个力间的夹角为120°,所以每个槽面对小球的支持力N1=N2=mg,
所以小球对V型槽间的滑动摩擦力为f=2μN1=2μmg,
小球沿槽滑动至停止,由动能定理,有:
-fL=0-$\frac{1}{2}$mv02
解得:μ=$\frac{H}{L}$.
答:(1)小球转动的角速度为$\frac{\sqrt{gH}}{R}$.
(2)小球落入V型槽时的速度为$\frac{\sqrt{17gH}}{2}$.
(3)槽面对小球的动摩擦因数μ至少为$\frac{H}{L}$.

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源,掌握动能定理解题的一般步骤,并能灵活运用,对于第三问,也可以根据动力学知识进行求解.

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