Question

8．如图所示，一质量为m=1.0kg的货物以初速v₀=10m/s从倾角为α=37°的顺时针运转的传送带的底端A处沿传送带向上运动，传送带的速率v₁=5.0m/s，A到顶端B之间的距离l=11m，货物与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，g取10m/s²．试求货物从A处开始向上运动到最高点的过程中．
（1）摩擦力对物块做的功；
（2）物块和传送带摩擦产生的热量．

Answer 1

分析 （1）货物以初速v₀向上运动时，所受的滑动摩擦力方向沿传送带向下，货物向上减速运动，根据牛顿第二定律和速度公式求出速度减至v₁时所用时间，根据μ与tanα的大小，判断速度相等时货物的运动情况，再由牛顿第二定律和位移公式求出上升的位移，与传送带的长度比较，从而确定出货物到达最高点的速度，最后由动能定理求摩擦力对物块做的功；
（2）求货物与传送带间的相对位移，再求物块和传送带摩擦产生的热量．

解答 解：（1）货物以初速v₀开始向上运动时，滑动摩擦力方向沿传送带向下，货物向上减速运动，设加速度为a₁，运动到v₁需时t₁，位移为x₁，传送带位移为x_传1．
由牛顿第二定律得 
   mgsinθ-μmgcosθ=ma₁，
由运动学公式得 v₁=v₀+a₁t₁，
联立解得 t₁=0.5s．
又有 ${v}_{1}^{2}$-${v}_{0}^{2}$=-2a₁x₁，
解得 x₁=3.75m．
则 x_传1=v₁t₁，
解得 x_传1=2.5m
由于μ＜tanα，所以货物不能与传送带保持相对静止，继续向上做匀减速运动．设其加速度为a₂，减速到速度为0还没有运动到B点，需时间t₂，位移为x₂，传送带位移为x_传2．
由牛顿第二定律得 mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
由运动学公式得 0=v₁-a₂t₂，
可得 t₂=2.5s
由$0-v_1^2=-2{a_2}{x_2}$，得 x₂=6.25m．
x_传2=v₁t₂，则得  x_传2=12.5m．
因x₁+x₂=3.75m+6.25m=10m＜l，所以假设成立，货物运动不到B点速度就减小为零．
设货物从A处开始向上运动到最高点的过程中摩擦力做的功为W，由动能定理得
  $W-mg（{x_1}+{x_2}）sinα=0-\frac{1}{2}mv_0^2$
得W=10J．
（2）物块和传送带摩擦生热Q=μmgcosα[（x₁-x_传1）+（x_传2-x₂）]
解得 Q=30J．
答：
（1）摩擦力对物块做的功是10J；
（2）物块和传送带摩擦产生的热量是30J．

点评 解决本题的关键理清物体在整个过程中的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解，求出各段过程中的加速度是关键．