Question

18．滑板运动是一项陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的滑坡上滑行，做出各种动作给人以美的享受．如图甲所示，abcdef为同一竖直平面上依次平滑连接的滑行轨道，其中ab段水平，H=3m，bc段和cd段均为斜直轨道，倾角θ=37°，de段是一半径R=2.5m的四分之一圆弧轨道，o点为圆心，其正上方的d点为圆弧的最高点，滑板及运动员总质量m=60kg，运动员滑经d点时轨道对滑板支持力用N_d表示，忽略摩擦阻力和空气阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．除下述问（3）中运动员做缓冲动作以外，均可把滑板及运动员视为质点．

（1）运动员从bc段紧靠b处无初速滑下，求N_d的大小；
（2）运动员逐渐减小从bc上无初速下滑时距水平地面的高度h，请在图乙的坐标图上作出N_d-h图象（只根据作出的图象评分，不要求写出计算过程和作图依据）；
（3）运动员改为从b点以υ₀=4m/s的速度水平滑出，落在bc上时通过短暂的缓冲动作使他只保留沿斜面方向的速度继续滑行，则他是否会从d点滑离轨道？请通过计算得出结论．

Answer 1

分析 （1）运动员从开始滑下至滑到d点，由机械能守恒定律求出d点速度，根据牛顿第二定律求出轨道对滑板支持力．
（2）根据N_d-h的关系式作图．
（3）运动员离开b点做平抛运动，落在斜面上时，竖直方向上的位移和水平方向上的位移的比值等于tanθ，根据这一关系求出运动的时间，从而求出落在斜面上时在竖直方向上的分速度．落在bc上时通过短暂的缓冲动作使他只保留沿斜面方向的速度继续滑行，对落地点的速度沿垂直斜面方向和沿斜面方向正交分解，求出沿斜面方向的分速度，即为沿斜面滑行的速度，然后根据动能定理求出d点的速度，与d点的临界速度进行比较，判断是否会从d点滑离轨道．

解答 解：（1）从开始滑下至d点，由机械能守恒定律得
  $mg（H-R）=\frac{1}{2}m{υ^2}$  ①
在d点，根据牛顿第二定律得 $mg-{N_d}=\frac{{m{υ^2}}}{R}$ ②
由①②得：${N_d}=mg（3-\frac{2H}{R}）=360N$ ③
（2）所求的N_d-h图象如图所示．
（3）当以υ₀=4m/s从b点水平滑出时，运动员做平抛运动落在Q点，如图所示．设Bq=s₁，则
   s₁sin37°=$\frac{1}{2}$gt² ④
   s₁cos37°=v₀t  ⑤
在Q点缓冲后  ${υ_Q}={υ_y}sin{37^0}+{υ_0}cos{37^0}=6.8m/s$  ⑧
从Q→d得 $mg（H-\frac{1}{2}g{t^2}）-mgR=\frac{1}{2}mυ_d^2-\frac{1}{2}mυ_Q^2$ ⑨
运动员恰从d点滑离轨道应满足：$mg=\frac{{mυ_d^{′2}}}{R}$ ⑩
由⑨⑩得$υ_d^{′2}-υ_d^2=4.76$即$υ_d^′＞{υ_d}$（11）
见滑板运动员不会从圆弧最高点d滑离轨道．
答：
（1）若运动员从bc 段紧靠b处无初速度滑下，N_d的大小是360N．
（2）如上图．
（3）滑板运动员不会从圆弧最高点d滑离轨道．

点评 解决本题的关键知道平抛运动落在斜面上，竖直方向上的位移和水平方向上的位移的比值是定值，根据该关系可求出时间．以及在外轨道做圆周运动，最高点有最大速度，此时正压力为0，有重力等于向心力．