Question

如图所示，半径为R的 1/4光滑圆弧轨道最低点D与水平面相切，在D点右侧L₀=4R处用长为R的细绳将质量为m的小球B（可视为质点）悬挂于O点，小球B的下端恰好与水平面接触，质量为m的小球A（可视为质点）自圆弧轨道C的正上方H高处由静止释放，恰好从圆弧轨道的C点切入圆弧轨道，已知小球A与水平面间的动摩擦因数μ=0.5，细绳的最大张力F_m=7mg，重力加速度为g，试求：（1）若H=R，小球A到达圆弧轨道最低点D时所受轨道的支持力；
（2）试讨论H在什么范围内，小球A与B发生弹性碰撞后细绳始终处于拉直状态．

Answer 1

分析：（1）小球开始下落一直到D的过程中，只有重力做功，由机械能守恒定律可以求出到达D点的速度，由牛顿第二定律可以求出支持力；
（2）应用动量守恒定律、动能定理、牛顿第二定律求出H的范围．

解答：解：（1）设小球A运动到圆弧轨道最低点D时速度为v₀，
则由机械能守恒定律有：

1

2

mv₀²=mg（H+R）  ①
圆弧轨道最低点，由牛顿第二定律可得：N-mg=m

v 2 0

R

   ②
解得：N=5mg  ③；
（2）设A与B碰前速度为v_A，碰后A的速度为v_A′，B的速度为v_B，
A与B碰撞过程，由动量守恒定律得：mv_A=mv_A′+mv_B  ④
由机械能守恒定律得：

1

2

mv_A²=

1

2

mv_A′²+

1

2

mv_B²    ⑤，
A在水平面上滑行过程，由动能定理得：-μmgL₀=

1

2

mv_A²-

1

2

mv₀²  ⑥
A、若碰后B能在竖直平面内做完整的圆周运动，则细绳始终处于拉直状态，
设小球B在最高处速度为v_B′，则在最高处有：mg≤m

v′ 2 B

R

    ⑦
小球B从最低点到最高点：

1

2

mv_B²=

1

2

mv_B′²+mg?2R   ⑧，
小球B在最低点时细绳受力最大，F_m-mg≥m

v 2 B

R

   ⑨
联立①④⑤⑥⑦⑧⑨解得：3.5R≤H≤4R  ⑩，
B、若A与B碰后B摆动的最大高度小于R，则细绳始终处于拉直状态，则
根据机械能守恒得：

1

2

mv_B²≤mgR  （11），
要保证A与B能发生碰撞，v_A＞0，（12）
联立①④⑤⑥（11）（12）解得：R＜H≤2R；
答：（1）若H=R，小球A到达圆弧轨道最低点D时所受轨道的支持力为5mg；
（2）当3.5R≤H≤4R或R＜H≤2R时，小球A与B发生弹性碰撞后细绳始终处于拉直状态．

点评：分析清楚运动过程是正确解题的关键，要对绳子拉直进行讨论，不要漏解．