Question

19．真空中的竖直平面内有一直角坐标系，存在图示的两个矩形区域，匀强电场区域宽度（L×$\sqrt{3}$L），方向竖直向下；匀强磁场区域宽度（1.5L×3L），方向垂直纸面向里，两个区域的上边界平齐，如图所示．一质量为m、带电量为+q的带电粒子（不计重力）以速度v₀从坐标原点O（电场左边界的中点）沿x轴正方向射出，经过一段时间后射出磁场．已知场强大小为E=$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$，磁感应强度大小为B=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qL}$试求：
（1）粒子射出磁场的点的坐标位置；
（2）若磁感应强度B大小可调，要求带电粒子不穿出磁场的右边界，求B大小的范围．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类似平抛运动，根据分运动公式列式求解末位置坐标和速度；进入磁场后做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解轨道半径，再结合几何关系得到粒子射出磁场的点的坐标位置坐标；
（2）若磁感应强度B大小可调，则轨道半径可调，要求带电粒子不穿出磁场的右边界，临界情况是轨迹与右边界相切，结合几何关系求解出轨道半径，再根据牛顿第二定律列式分析．

解答 解：（1）粒子在电场中做类似平抛运动，故根据分位移公式，有：
水平分位移：x=L=v₀t   
竖直分位移：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$ 
根据分速度公式，有：
水平分速度：v_x=v₀     
竖直分速度：${v}_{y}=at=\frac{qE}{m}t$     
合速度：$v=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$   
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
根据题意，有：
E=$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$
联立解得：
y=$\frac{\sqrt{3}}{2}L$
v=2v₀
θ=60°
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，轨迹如图所示：

根据牛顿第二定律，有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
解得：$r=\frac{mv}{qB}=\frac{{m（2{v_0}）}}{{q•\frac{{2\sqrt{3}m{v_0}}}{3qL}}}=\sqrt{3}L$
结合几何关系，有：d=r=$\sqrt{3}L$
故粒子射出磁场的点的坐标为：（L，-$\frac{3}{2}\sqrt{3}L$）；
（2）粒子做匀速圆周运动，要求带电粒子不穿出磁场的右边界，临界情况是轨迹与右边界相切，如图所示：

结合几何关系，有：1.5L=r-rcos60°，故r=3d；
粒子做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，故：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：
B=$\frac{2m{v}_{0}}{3qd}$
故磁感应强度大小要大于$\frac{2m{v}_{0}}{3qd}$；
答：（1）粒子射出磁场的点的坐标位置为（L，-$\frac{3}{2}\sqrt{3}L$）；
（2）若磁感应强度B大小可调，要求带电粒子不穿出磁场的右边界，B大小的范围为：B≥$\frac{2m{v}_{0}}{3qd}$．

点评 本题关键是明确粒子先做类似平抛运动，再做匀速圆周运动，画出运动轨迹，结合类平抛运动的分运动规律、几何关系、牛顿第二定律分析，不难．