Question

18．如图所示，有一个固定在竖直平面内的光滑半圆形等高轨道，有两个小球A，B质量分别为m，3m，B球静止在轨道上最低点，A球从轨道左边某高处由静止释放，与B球在最低点发生弹性碰撞，碰撞后A球被反向弹回，且A，B球能达到的最大高度均为$\frac{1}{4}$R，重力加速度为g，求．
①小球A开始释放的位置离轨道最低点的高度
②第二次碰撞中A球的动能变化．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒求出碰撞后A与B的速度，然后由动量守恒定律求出碰撞前A 的速度，最后又机械能守恒求出A的初始高度；
（2）由动量守恒定律和机械能守恒求出第二次碰撞后A与B的速度，即可求出A的动能的变化．

解答 解：（1）碰撞后A上升的过程中机械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=mg•\frac{1}{4}R$
所以碰撞后A与B的速度的大小：${v}_{1}=\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
设碰撞前A的速度是v₀，以碰撞前A运动的方向为正方向，则由动量守恒定律得：mv₀=-mv₁+3mv₁
代入数据得：${v}_{0}=2{v}_{1}=2\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
碰撞前A下降的过程中机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mgh$
得：h=R
（2）A与B滑上又返回的过程中机械能守恒，所以A与B返回后的速度的大小不变，由运动的对称性可知，两个小球同时返回，返回后仍然以A运动的方向为正方向，则：
mv₁-3mv₁=-mv₂+3mv₃
碰撞的过程中总动能不变，则：$\frac{1}{2}（m+3m）{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}+\frac{1}{2}3m{v}_{4}^{2}$
联立解得：${v}_{3}=2\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，v₄=0
所以第二次碰撞中A球的动能增大，增加量为：$△{E}_{K}=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=0.75mgR$
答：①小球A开始释放的位置离轨道最低点的高度是R；
②第二次碰撞中A球的动能增大0.75mgR．

点评 该题将动量守恒定律与机械能守恒定律相结合，要注意题目中的碰撞是弹性碰撞，动能的总量不变．