Question

如图所示，在光滑水平面上有一xOy平面坐标系，在坐标系内有一质量m=1.0×10^-12kg，电量q=1.0×10^-13C的正电荷，从O点以速度v₀=3m/s沿x轴正方向射入，起初在xOy平面坐标系内加有沿y轴正方向的匀强电场，场强E₁=20N/C，电荷运动1秒后所加电场突然变为沿y轴负方向的匀强电场E₂，又经1秒电荷恰好返回x轴上某点，此时所加电场突然变为垂直xOy平面向上的匀强磁场，经一段时间后电荷又返回O点．求：
（1）匀强电场E₂的大小．
（2）匀强磁场磁感应强度B的大小．
（3）通过计算，在xOy平面坐标系内画出电荷的运动轨迹．

Answer 1

分析：（1）由牛顿第二定律分别求出两电场中带电粒子的加速度，结合运动学公式可求解；
（2）分析电荷返回x轴的运动，结合几何关系、匀速圆周运动可求解；
（3）分段分析电荷的运动，利用运动学公式求出对应的坐标，画出轨迹图．

解答：解：（1）由牛顿第二定律可得，电荷进入坐标系第1秒内在y轴正方向有
a_y=

qE1

m

=

20×1×10-13

1×10-12

=2m/s²
运动学公式，所以第1秒末，对于电荷应有
电荷沿y轴正方向的速度：
v_y=a_yt=2×1=2m/s
位置为：
y₁=

1

2

a_yt²=

1

2

×2×1²=1m
x₁=v₀t=3×1=3m
又经1秒后，返回x轴上某一点，在这1秒内有-y₁=v_yt′-

1

2

a′t′2

a

′ y

=

qE2

m

联立以上两式，将已知值代入求得：E₂=60N/C
（2）电荷返回x轴上某点时，
电荷沿y轴负方向的速度

v

′ y

=-v_y+

a

′ y

t′=-2+6×1=4m/s
沿x轴正方向的速度：v_x=v₀=3m/s
所以速度v=

v02+ v ′2 y

=

32+42

=5m/s
此时电荷到达的位置为：y₂=o₂x₂=v₀（t+t′）=3×2=6m
由此可得，电荷到达x轴上（6，0）后，将做匀速圆周运动，经一段时间后返回O点，
根据电荷在（6，0）点的速度关系及几何关系可得

x2 2

r

=

v ′ y

v

解得半径：r=3.75m
又由：qvB=

mv2

r

，代入r解得磁感应强度B=

40

3

T
（3）设当电场变成E₂后，电荷经时间t₁，沿y轴正方向的速度为零，则有
v_y=

a

′ y

t₁，
可得，t₁=

1

3

s
此段时间内电荷在y轴正方向发生的位移：△y=

vy

2

t1=

1

3

m
电荷在x轴方向发生的位移：△x=v₀t₁=1m
此时电荷的坐标为：y=y₁+△y=1+

1

3

=

4

3

m
x₃=x₁+△x=3+1=4m
然后，电荷从（4，

4

3

）点将做类平抛运动，在

2

3

s时间内返回x轴上的（6，0）点
最后做匀速圆周运动，回到O点，由以上分析结合（1）（2）问的解答，画出电荷运动
轨迹如图所示
答：（1）匀强电场E₂为60N/C；
（2）匀强磁场磁感应强度B为

40

3

T；
（3）在xOy平面坐标系内电荷的运动轨迹如图所示：

点评：本题考查带点粒子在电场和磁场中的运动，关键是理清粒子的运动轨迹，以及粒子的运动情况，结合几何关系求解．