Question

如图所示，一竖直光滑绝缘的管内有一劲度系数为k的绝缘弹簧，其下端固定于地面，上端与一质量为m，带电量为+q的小球A相连，整个空间存在一竖直向上的匀强电场，小球A静止时弹簧恰为原长。另一质量也为m的不带电的绝缘小球B从距A为的P点由静止开始下落，与A发生碰撞后一起向下运动（全过程中小球A 的电量不发生变化，重力加速度为g）。

（1）若已知，试求B与A碰撞过程中损失的机械能；

（2）若未知，且B与A在最高点恰未分离，试求A、B运动到最高点时弹簧的形变量；

（3）在满足第（2）问的情况下，试求A、B运动过程中的最大速度。

Answer 1

【解析】：(1)设匀强电场的场强为E,在碰撞前A静止时有:

         ①┈┈┈1分     解得:   ┈┈┈┈1分

在与A碰撞前B的速度为v₀,由机械能守恒定律得:

      ┈┈┈┈1分        ∴  ┈┈┈┈┈1分

B与A碰撞后共同速度为v₁,由动量守恒定律得:

                       ③┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

∴    ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

B与A碰撞过程中损失的机械能ΔE为:

  ④┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

(2)A、B在最高点恰不分离,此时A、B加速度相等，且它们间的弹力为零，设此时弹簧的伸长量为x₁，则：对B：                   ⑤┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

对A：         ⑥┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

所以弹簧的伸长量为：       ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

（3）A、B一起运动过程中合外力为零时，具有最大速度v_m，设此时弹簧的压缩量为x₂,则：

             ⑦┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

∴                 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

由于x₁=x₂,说明A、B在最高点处与合外力为零处弹簧的弹性势能相等，对此过程由能量守恒定律得：  ⑧┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

解得：       ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分