Question

4．一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示．若将一个质量为m小球分别拴在链条左端和右端，如图b、图c所示．约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断中正确的是（　　）

• A． v_a=v_b=v_c
• B． v_a＜v_b＜v_c
• C． v_c＞v_a＞v_b
• D． v_a＞v_b＞v_c

Answer 1

分析 在运动的过程中，对整个系统而言，机械能守恒．抓住系统重力势能的减小量等于动能的增加量，分别求出离开桌面时的速度．

解答 解：铁链释放之后，到离开桌面，由于桌面无摩擦，
对两次释放，桌面下方L处为0势能面．
则释放前，系统的重力势能为
第一次，E_p1=$\frac{1}{2}$mgL+$\frac{1}{2}$mg•$\frac{3}{4}L$=$\frac{7}{8}mgL$
第二次，E_p2=（$\frac{1}{2}$m+m）gL+$\frac{1}{2}$mg•$\frac{3}{4}L$=$\frac{15mgL}{8}$
第三次，E_p3=$\frac{1}{2}$mgL+$\frac{1}{2}$mg•$\frac{3}{4}L$+mg$\frac{L}{2}$=$\frac{11}{8}$mgL
释放后E_p1'=mg$\frac{L}{2}$
E_p2'=mgL+mg$\frac{L}{2}$=$\frac{3}{2}$mgL
E_p3'=$\frac{1}{2}$mgL
则损失的重力势能
△E_p1=$\frac{3}{8}$mgL
△E_p2=$\frac{3}{8}$mgL
△E_p3=$\frac{7}{8}$mgL
那么△E_p1=$\frac{1}{2}$mv_a²
△E_p2=$\frac{1}{2}$（2m）v_b²
△E_p3=$\frac{1}{2}$（2m）v_c²
解得：v_a²=$\frac{3gL}{4}$  
v_b²=$\frac{3}{8}$gL
v_c²=$\frac{7}{8}$gL
显然 v_c²＞v_a²＞v_b²，
所以v_c＞v_a＞v_b，
故选：C

点评 解决本题的关键知道系统机械能守恒，抓住系统重力势能的减小量等于系统动能的增加量进行求解．