Question

1．如图所示，x轴上方是长为4a、宽为a的矩形匀强磁场区域，该区域被y轴平分，磁感应强度为B、方向垂直纸面向里．x轴下方有竖直向下的匀强电场（无限大），x轴为磁场与电场的水平分界线，P点为y轴上y=-a的点．质量为m，带有电量大小为q的负电荷，放在P点．
（1）若将负电荷从P点静止开始释放，要使其不从磁场上边界射出，求电场的电场强度E的大小；
（2）若还是从P点静止开始释放，在x=2.5a处有一与x轴垂直的足够大的板（图中未画出），若将板向x轴正方向平移，电荷打在板上的位置始终不变，则电场的电场强度E′为多大；
（3）若匀强磁场充满y＞0的所有区域，匀强电场的电场强度为E₀，从P点以适当的初速度平行于负x轴射出一带负电的粒子，质量为m，电量为q，使它经过负x轴上的D点，然后历经磁场一次自行回到P点，求OD的距离和抛出的初速度．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求得负电荷经电场加速后的速度，由几何关系知电荷恰好不从上边界飞出，说明电荷在磁场中圆周运动的半径刚好等于磁场的宽度，根据半径公式求解即可；
（2）根据动能定理和半径公式计算出电荷做圆周运动的半径，然后应用牛顿第二定律求出电场场强；
（3）列出电荷在电场中类平抛运动的运动学方程，求出OD和${v}_{0}^{\;}$

解答 解：（1）电荷在电场中加速，由动能定理得$qEa=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-0$
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
电荷恰好不从磁场上边界射出需要满足：r≤a，解得：$E≤\frac{q{B}_{\;}^{2}a}{2m}$
（2）电荷在电场中加速，由动能定理得：$qE′=\frac{1}{2}mv{′}_{\;}^{2}-0$
由“将板向x轴正方向平移，电荷打在板上的位置始终不变”可知电荷离开磁场时电荷的速度方向平行于x轴沿+x方向，
电荷进入匀强磁场后做匀速圆周运动的轨道半径为：$r′=\frac{2a}{2n+1}（n=1，2，3…）$
由牛顿第二定律得：$qv′B=m\frac{v{′}_{\;}^{2}}{r′}$
解得：$E′=\frac{2q{B}_{\;}^{2}a}{（2n+1）_{\;}^{2}m}$
（3）电荷在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，设OD=d，运动轨迹如图所示

由几何知识得$R=\frac{d}{sinα}$，${v}_{0}^{\;}sinα=\sqrt{\frac{2q{E}_{0}^{\;}a}{m}}$，电荷的轨道半径$R=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
解得：$d=\sqrt{\frac{2ma{E}_{0}^{\;}}{q{B}_{\;}^{2}}}$
在电场中$a=\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}{t}_{1}^{2}$
解得${t}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{2ma}{q{E}_{0}^{\;}}}$
${v}_{0}^{\;}=\frac{d}{{t}_{1}^{\;}}=d\sqrt{\frac{q{E}_{0}^{\;}}{2ma}}$
答：（1）若将负电荷从P点静止开始释放，要使其不从磁场上边界射出，求电场的电场强度E的大小$\frac{q{B}_{\;}^{2}a}{2m}$；
（2）若还是从P点静止开始释放，在x=2.5a处有一与x轴垂直的足够大的板（图中未画出），若将板向x轴正方向平移，电荷打在板上的位置始终不变，则电场的电场强度E′为$\frac{2q{B}_{\;}^{2}a}{（2n+1）_{\;}^{2}a}$；
（3）若匀强磁场充满y＞0的所有区域，匀强电场的电场强度为E₀，从P点以适当的初速度平行于负x轴射出一带负电的粒子，质量为m，电量为q，使它经过负x轴上的D点，然后历经磁场一次自行回到P点，求OD的距离为$\sqrt{\frac{2ma{E}_{0}^{\;}}{q{B}_{\;}^{2}}}$和抛出的初速度$d\sqrt{\frac{q{E}_{0}^{\;}}{2ma}}$．

点评 解决本题的关键是掌握带垒球在加速电场中的运动及由动能定理求得经加速电场后的速度，垒球在磁场中在洛伦兹力作用下做圆周运动，要考虑到由条件作出垒球运动轨迹，由轨迹确定垒球运动的半径，再根据洛伦兹力提供向心力列式求解，要注意圆周运动的周期性．