Question

3．如图甲所示，空间存在B=0.5T，方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是相互平行的粗糙的长直导轨，处于同一水平面内，其间距L=0.2m，R是连在导轨一端的电阻，ab是跨接在导轨上质量m=0.1kg的导体棒，从零时刻开始，通过一小型电动机对ab棒施加一个牵引力F，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做直线运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，图乙是棒的速度-时间图象，其中OA段是直线，AC是曲线，DE是曲线图象的渐近线，小型电动机在12s末达到额定功率P=4.5W，此后功率保持不变．除R以外，其余部分的电阻均不计，g=10m/s²．

（1）求导体棒在0～12s内的加速度大小；
（2）求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ及电阻R的阻值；
（3）若t=17s时，导体棒ab达最大速度，且0～17s内共发生位移100m，试求12s～17s内R上产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）导体棒在0-12s内做匀加速运动，由图象的斜率求解加速度．
（2）乙图中A点：由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL推导出安培力的表达式，由牛顿第二定律得到含μ和R的表达式；图中C点：导体棒做匀速运动，由平衡条件再得到含μ和R的表达式，联立求出μ和R．
（3）由图象的“面积”求出0-12s内导体棒发生的位移，0-17s内共发生位移100m，求出AC段过程发生的位移，由能量守恒定律求解12-17s内R上产生的热量．

解答 解：（1）由图乙可知，导体棒在0～12s内的加速度为：$a=\frac{△v}{△t}=\frac{9}{12}m/{s^2}=0.75m/{s^2}$
（2）由题意结合乙图知，在12s末时，对ab棒进行受力分析可知：$\frac{P}{v_A}-μmg-{F_{安1}}=ma$
其中有：${F_{安1}}=\frac{{{B^2}{L^2}{v_A}}}{R}$
ab棒达到最大速度时，受力满足：$\frac{P}{v_E}-μmg-{F_{安2}}=0$
其中：${F_{安2}}=\frac{{{B^2}{L^2}{v_E}}}{R}$
联立解之得：μ=0.2，R=0.4Ω
（3）有乙图知，ab棒在0～12s时间内，发生的位移为：${x_1}=\frac{v_A}{2}{t_1}=\frac{1}{2}×9×12m=54m$，
所以ab棒在12s～17s时间内发生的位移为：x₂=x-x₁=（100-54）m=46m
根据能量守恒可知：Q=Pt₂-μmgx₂-△E_k，
其中：$△E=\frac{1}{2}m{v_E}^2-\frac{1}{2}m{v_A}^2$
联立解之得：Q=12.35J
答：（1）导体棒在0-12s内的加速度大小是0.75m/s²；
（2）导体棒与导轨间的动摩擦因数是0.2，电阻R的阻值是0.4Ω；
（3）12-17s内，R上产生的热量是12.35J．

点评 本题与力学中汽车匀加速起动类似，关键要推导安培力的表达式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，根据平衡条件、牛顿第二定律和能量守恒结合进行求解．