Question

如图12所示，AB是一个固定在竖直面内的弧形轨道，与竖直圆形轨道BCD在最低点B平滑连接，且B点的切线是水平的；BCD圆轨道的另一端D与水平直轨道DE平滑连接。B、D两点在同一水平面上，且B、D两点间沿垂直圆轨道平面方向错开了一段很小的距离，可使运动物体从圆轨道转移到水平直轨道上。现有一无动力小车从弧形轨道某一高度处由静止释放，滑至B点进入竖直圆轨道，沿圆轨道做完整的圆运动后转移到水平直轨道DE上，并从E点水平飞出，落到一个面积足够大的软垫上。已知圆形轨道的半径R=0.40m，小车质量m=2.5kg，软垫的上表面到E点的竖直距离h=1.25m、软垫左边缘F点到E点的水平距离s=1.0m。不计一切摩擦和空气阻力，弧形轨道AB、圆形轨道BCD和水平直轨道DE可视为在同一竖直平面内，小车可视为质点，取重力加速度g =10m/s2。

（1）要使小车能在竖直圆形轨道BCD内做完整的圆周运动，则小车通过竖直圆轨道最高点时的速度至少多大；

（2）若小车恰能在竖直圆形轨道BCD内做完整的圆周运动，则小车运动到B点时轨道对它的支持力多大；

（3）通过计算说明要使小车完成上述运动，其在弧形轨道的释放点到B点的竖直距离应满足什么条件。

Answer 1

解：（1）设小车能在竖直圆形轨道BCD内做完整的圆周运动，小车通过圆轨道最高点时的最小速度为vC，

根据牛顿第二定律有 mg=m……………………………………………………1分

解得vC== m/s =2.0m/s   …………………………………………1分

   （2）小车恰能在圆轨道内做完整的圆周运动，此情况下小车通过B点的速度为vB，轨道对小车的支持力为FN。

根据机械能守恒定律有 mv=mvC2+2mgR  ………………………………2分

根据牛顿第二定律有FN－mg=m    …………………………………………1分

解得  FN=150N    …………………………………………………………………1分

（3）设小车从E点水平飞出落到软垫上的时间为，则h=gt2，

解得t=0.50s…………………………………………………………………………1分

设小车以vE的速度从E点水平飞出落到软垫F点右侧，则vEt＞s，解得vE2.0m/s

要使小车完成题目中所述运动过程，应当满足两个条件：

小车通过轨道B点的速度m/s；

小车通过E点的速度vE2.0 m/s。

因vE= vB，综合以上两点，小车通过B点的速度应不小于m/s………1分

设释放点到B点的竖直距离为H，根据机械能守恒定律有mgH= mvB2，解得H=1.0m

释放点到B点的竖直距离H≥1.0m…………………………………………………1分