Question

14．如图所示，一不可伸长的轻质细绳，绳长为L，一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球，小球绕O点在竖直平面内做圆周运动（不计空气阻力）．
（1）若小球恰好通过最高点A且悬点距地面的高度h=2L，小球经过B点或D点时绳突然断开，求两种情况下小球从抛出到落地所用时间之差△t；
（2）若小球通过最高点A时的速度为v，小球运动到最低点C或最高点A时，绳突然断开，两种情况下小球从抛出到落地水平位移大小相等，则O点距离地面高度h与绳长L之间应满足什么关系．

Answer 1

分析 （1）小球恰好通过最高点可得在最高点A时的速度，根据动能定理可得小球在B和D时的速度大小，小球在B和D断开绳时分别做竖直上抛和下抛运动，根据运动学规律求得落地时间差；
（2）小球在最高点呀最低点绳断开时做平抛运动，根据抛出点的高度和速度由射程相等进行分析求解即可．

解答 解：（1）若小球恰好通过最高点的速度为：${v}_{A}=\sqrt{gl}$，
$mgl=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$                                           
BD点等高，可知：${v}_{B}={v}_{D}=v=\sqrt{3gl}$                                        
从B点、D点小球分别竖直上抛和竖直下抛，则有：
$△t=\frac{2{v}_{B}}{g}$=$\frac{2\sqrt{3gl}}{g}$
（2）小球运动到最高点绳断开后平抛运动时间为t，则有：
$h+l=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=vt
小球运动到最低点v′，绳突然断开后小球做平抛运动时间为t′，则有：
$h-l=\frac{1}{2}gt{′}^{2}$
x′=v′t′
由机械能守恒定律得：$2mgl+\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$                           
又x=x′
联立上述各式解得：$h=\frac{v{′}^{2}}{2g}-l$                                
小球运动到最高点时有：$v≥\sqrt{gl}$
由机械能守恒定律有：$2mgl+\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
小球运动到最低点时速度有：$v′≥\sqrt{5gl}$                          
故$h=\frac{v{′}^{2}}{2g}-l$，
得：h≥$\frac{3l}{2}$
答：（1）若小球恰好通过最高点A且悬点距地面的高度h=2L，小球经过B点或D点时绳突然断开，两种情况下小球从抛出到落地所用时间之差△t为$\frac{2\sqrt{3gl}}{g}$；
（2）若小球通过最高点A时的速度为v，小球运动到最低点C或最高点A时，绳突然断开，两种情况下小球从抛出到落地水平位移大小相等，则O点距离地面高度h与绳长L之间应满足h≥$\frac{3l}{2}$．

点评 本题是圆周运动与平抛运动的综合，运用牛顿运动定律和机械能守恒结合进行研究，对于平抛运动，也可以运用分解的方法求小球落地速度．