Question

水平固定的两个足够长的平行光滑杆MN、PQ，两者之间的间距为L，两光滑杆上分别穿有一个质量分别为M_A=0.1kg和M_B=0.2kg的小球A、B，两小球之间用一根自然长度也为L的轻质橡皮绳相连接，开始时两小球处于静止状态，如图1所示．现给小球A一沿杆向右的水平速度v₀=6m/s，以向右为速度正方向，以小球A获得速度开始计时得到A球的v-t图象如图2所示．（以后的运动中橡皮绳的伸长均不超过其弹性限度．）
（1）在图2中画出一个周期内B球的v-t图象（不需要推导过程）；
（2）若在A球的左侧较远处还有另一质量为M_C=0.1kg粘性小球C，当它遇到小球A，即能与之结合在一起．某一时刻开始C球以4m/s的速度向右匀速运动，在A的速度为向右大小为2m/s时，C遇到小球A，则此后橡皮绳的最大弹性势能为多少？
（3）C球仍以4m/s的速度向右匀速运动，试定量分析在C与A相遇的各种可能情况下橡皮绳的最大弹性势能．

Answer 1

分析：（1）AB运动过程中动量守恒，根据动量守恒定律求出B球的几个速度值，描点连成光滑曲线即可；
（2）根据动量守恒定律求出AC共同速度，再求出碰撞损失的机械能，当三球速度相同时橡皮绳子弹性势能最大，根据能量关系求出橡皮绳的最大弹性势能；
（3）当A球在运动过程中速度为4m/s与C球同向时，C球与之相碰时系统损失能量最小（为0），橡皮绳具有的最大弹性势能，当A球在运动过程中速度为2m/s与C球反向时（此时B的速度为，C球与之相碰时系统损失能量最大，橡皮绳具有的最大弹性势能，根据能量关系求解此最大弹性势能，最后求出范围．

解答：解：（1）AB运动过程中动量守恒，根据动量守恒定律得：
M_Av₀=M_Av_A+M_Bv_B
当v_A=6m/s时v_B=0
当v_A=2m/s时v_B=2m/s
当v_A=-2m/s时v_B=4m/s
所以一个周期内B球的v-t图象如图所示：
（2）AC碰撞，动量守恒：M_Av_A+M_Cv_C=（M_A+M_C）v_AC
　　　　　　　　　解得：v_AC=3m/s　　　　　　　　　　　
碰撞损失的机械能为：△E_K=

1

2

M_Av_A²+

1

2

M_Cv_C²-

1

2

（M_A+M_C）v_AC²=0.1J
当三球速度相同时橡皮绳子弹性势能最大，M_Av₀+M_Cv_C=（M_A+M_B+M_C）v_共
 解得：v_共=2.5m/s               
　所以　　E_Pmax=

1

2

M_Av₀²+

1

2

M_Cv_C²-

1

2

=（M_A+M_B+M_C）v_共²-△E_K
　解得：E_Pmax=1.25J　              
（3）①：当A球在运动过程中速度为4m/s与C球同向时，C球与之相碰时系统损失能量最小（为0），橡皮绳具有的最大弹性势能为E_Pmax1
　　　　　　E_Pmax1=

1

2

M_Av₀²+

1

2

M_Cv_C²-

1

2

（M_A+M_B+M_C）v_共²=1.35J
　　②：当A球在运动过程中速度为2m/s与C球反向时（此时B的速度为，C球与之相碰时系统损失能量最大，橡皮绳具有的最大弹性势能为E_Pmax2，
M_Cv_C-M_Av_A=（M_A+M_C）v′_AC
　　　    解得v′_AC=1m/s
　E_Pmax2=

1

2

（M_A+M_C）v′_AC²+

1

2

M_Bv_B²-

1

2

（M_A+M_B+M_C）v_共²=0.45J
由上可得：橡皮绳具有的最大弹性势能的可能值在0.45J-1.35J的范围内．
答：（1）如图所示；（2）此后橡皮绳的最大弹性势能为1.25J；（3）橡皮绳具有的最大弹性势能的可能值在0.45J-1.35J的范围内．

点评：本题主要考查了动量守恒定律，能量守恒定律的应用，解题的关键是分析小球的运动情况，知道什么时候弹性势能最大，过程较为复杂，难度较大，属于难题．