Question

1．摆钟在山脚处的摆动周期T₁，把它移到山顶上，周期变成了T₂，设摆长不变，摆钟可看作单摆．已知山顶力山脚的竖直高度为h，求山脚处离地球中心距离R．

Answer 1

分析 根据万有引力和物体受到的重力的大小相等可以求得在地面上和高度为h处的重力加速度大小的表达式，进而由单摆的周期公式可以求出山脚处离地球中心距离R．

解答 解：在地球表面上，设地球的半径为R，重力加速度为g₁，
由单摆的周期公式：${T}_{1}=2π\sqrt{\frac{L}{{g}_{1}}}$…①
在地球表面，mg₁=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$…②
在h高处上，设此高度的重力加速度为g₂，
${T}_{2}=2π\sqrt{\frac{L}{{g}_{2}}}$…③
且mg₂=$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$…④
联立①②③④解得：R=$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}-{T}_{1}}h$．
答：山脚处离地球中心距离为$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}-{T}_{1}}h$．

点评 关键明确单摆的周期是由单摆的摆长和当地的重力加速度的大小共同决定的，在不同的地方，重力加速度的大小是不同的．