Question

2．2004年，我国正式开展月球探测工程，并命名为“嫦娥工程”．嫦娥工程分为“无人月球探测”、“载人登月”和“建立月球基地”三个阶段，设想在月球表面上，宇航员登测出小物块自由下落h高度所用的时间为t，当飞船在靠近月球表面绕月球做匀速圆周运动时，测得其周期为T，已知引力常量为G，根据上述各量，试求：
（1）月球表面的重力加速度g_月；
（2）月球的质量M．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动求月球表面的重力加速度；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力由近月卫星的周期与引力常量求月球的质量．

解答 解：（1）根据自由落体有：h=$\frac{1}{2}$g_月t²
得月球表面的重力加速度为：g_月=$\frac{2h}{{t}^{2}}$
（2）令月球半径为R，则月球表面重力万有引力相等，而近月飞行的卫星由万有引力提供向心力有：
mg_月=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得月球半径为：
R=$\frac{{g}_{月}}{4{π}^{2}}$T²=$\frac{h{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}$
由根据重力与万有引力相等有：
G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=mg_月
月球的质量为：
M=$\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{G}$=$\frac{2h}{G{t}^{2}}$•$\frac{{h}^{2}{T}^{4}}{4{π}^{4}{t}^{4}}$=$\frac{{h}^{3}{T}^{4}}{2G{π}^{4}{t}^{6}}$
答：（1）月球表面的重力加速度g_月为$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）月球的质量M为$\frac{{h}^{3}{T}^{4}}{2G{π}^{4}{t}^{6}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．本题重点是利用好月球表面的自由落体运动，这种以在星球表面自由落体、平抛物体、竖直上抛物体求解星球表面重力加速度的方式是比较常见的．