Question

3．如图所示，在直角坐标系的第Ⅰ象限和第Ⅲ象限存在着电场强度均为E的匀强电场，其中第Ⅰ象限电场沿x轴正方向，第Ⅲ象限电场沿y轴负方向．在第Ⅱ象限和第Ⅳ象限存在着匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向里．有一个电子从y轴的P点以垂直于y轴的初速度v₀进入第Ⅲ象限，第一次到达x轴上时速度方向与x轴负方向夹角为45°，第一次进入第Ⅰ象限时，与y轴正方向夹角也是45°，经过一段时间电子又回到了P点，已知电子的电荷量为e，质量为m，不考虑重力和空气阻力．求：
（1）P点距原点O的距离；
（2）粒子第一次到达x轴上C点与第一次进入第Ⅰ象限时的D点之间的距离；
（3）第四象限匀强磁场的磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析 （1）电子第三象限做类平抛运动，OP为竖直方向匀加速直线运动的位移；
（2）作出粒子的运动轨迹，由轨迹知CD为粒子圆周运动的半径，根据OC的数值可以计算出CD的大小．
（3）根据几何关系求出半径，再根据洛伦兹力提供向心力求解B即可．

解答 解：（1）电子从y轴的P点以垂直于y轴的初速度v₀进入第Ⅲ象限后，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，有：
v_y=v₀tan45°=v₀
又v_y=at₃=$\frac{eE}{m}$t₃
解得：t₃=$\frac{m{v}_{0}}{eE}$
PO=h=$\frac{1}{2}$at₃²=$\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}•（\frac{m{v}_{0}}{eE}）^{2}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2eE}$
（2）从P到C粒子做类平抛运动，水平方向位移
OC=${{v}_{0}{t}_{3}=v}_{0}\frac{eE}{m}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{eE}$
由轨迹图可知，CD做匀速圆周运动，CD为圆周的直径，由几何关系可得
CD=$\sqrt{2}OC=\frac{\sqrt{2}m{{v}_{0}}^{2}}{eE}$，
（3）根据几何关系可知，粒子做匀速圆周运动的半径R=$\frac{CD}{2}=\frac{\sqrt{2}m{{v}_{0}}^{2}}{2eE}$
根据洛伦兹力提供向心力得：
Bqv=m$\frac{{{v}_{\;}}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{mv}{qR}=\frac{m•\sqrt{2}{v}_{0}}{e\frac{\sqrt{2}m{{v}_{0}}^{2}}{2eE}}=\frac{2E}{{v}_{0}}$
答：（1）P点距原点O的距离为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2eE}$；
（2）粒子第一次到达x轴上C点与第一次进入第Ⅰ象限时的D点之间的距离为$\frac{\sqrt{2}m{{v}_{0}}^{2}}{eE}$；
（3）第四象限匀强磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{2E}{{v}_{0}}$．

点评 掌握平抛运动的处理方法并能运用到类平抛运动中，粒子在磁场中做匀速圆周运动，能正确的确定圆心和半径，并会根据周期公式求运动时间，难度适中．